III.1. Groupes libres
Démonstration. Supposons que X et Y soient deux ensembles équipotents. Il existe
donc une application bijective ϕ : X → Y ; le même raisonnement que ci-dessus
montre qu’il existe un isomorphisme L(X) → L(Y ) qui prolonge ϕ.
La réciproque utilise la notion de groupe abélien libre et sera l’objet du
TR.VI.A.
Le théorème III.1.3 justifie la définition suivante :
Définition III.1.5. Si G est un groupe libre, le cardinal d’une partie génératrice
libre de G est appelé le rang de G.
Remarque III.1.3. D’après la proposition III.1.3, deux groupes libres sont isomorphes si et seulement s’ils ont même rang.
Quelques propriétés des groupes libres seront étudiées au TR.III.C à la fin
de ce chapitre. On trouvera au TR.IV.D un exemple de groupe libre de rang 2.
Plus généralement, deux symboles distincts engendrent toujours un groupe libre
de rang 2.
Théorème III.1.4. Tout groupe est isomorphe à un quotient d’un groupe libre.
Démonstration. Soient G un groupe, S une partie génératrice de G et i : S S→ G
l’injection canonique. D’après le théorème (III.1.2), il existe un morphisme de
groupes f : L(S) → G tel que f |S = id S . On a donc G = S = f (S) et f est
surjective. On en déduit que G est isomorphe à L(S)/Ker(f ).
Le théorème suivant est fondamental, mais sa démonstration très technique
dépasse le cadre de ce livre. Il sera donc admis ; le lecteur désireux d’en voir
une démonstration est invité à se reporter à un ouvrage spécialisé en théorie des
groupes, par exemple [8].
Théorème III.1.5. Tout sous-groupe d’un groupe libre est libre.
Attention. Si G est un groupe libre (même de rang fini) et si H est un sousgroupe de G, il n’existe aucune relation a priori entre le rang de G et celui de H,
comme le prouve l’exercice ci-dessous.
Exercice III.1. (¶). Soient G un groupe libre de rang 2 et {x, y} une base de G.
a) On considère S = {y −n xy n |n ∈ N}. Montrer que le sous-groupe de G
engendré par S est libre de base S.
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Démonstration. Supposons que X et Y soient deux ensembles équipotents. Il existe
donc une application bijective ϕ : X → Y ; le même raisonnement que ci-dessus
montre qu’il existe un isomorphisme L(X) → L(Y ) qui prolonge ϕ.
La réciproque utilise la notion de groupe abélien libre et sera l’objet du
TR.VI.A.
Le théorème III.1.3 justifie la définition suivante :
Définition III.1.5. Si G est un groupe libre, le cardinal d’une partie génératrice
libre de G est appelé le rang de G.
Remarque III.1.3. D’après la proposition III.1.3, deux groupes libres sont isomorphes si et seulement s’ils ont même rang.
Quelques propriétés des groupes libres seront étudiées au TR.III.C à la fin
de ce chapitre. On trouvera au TR.IV.D un exemple de groupe libre de rang 2.
Plus généralement, deux symboles distincts engendrent toujours un groupe libre
de rang 2.
Théorème III.1.4. Tout groupe est isomorphe à un quotient d’un groupe libre.
Démonstration. Soient G un groupe, S une partie génératrice de G et i : S S→ G
l’injection canonique. D’après le théorème (III.1.2), il existe un morphisme de
groupes f : L(S) → G tel que f |S = id S . On a donc G = S = f (S) et f est
surjective. On en déduit que G est isomorphe à L(S)/Ker(f ).
Le théorème suivant est fondamental, mais sa démonstration très technique
dépasse le cadre de ce livre. Il sera donc admis ; le lecteur désireux d’en voir
une démonstration est invité à se reporter à un ouvrage spécialisé en théorie des
groupes, par exemple [8].
Théorème III.1.5. Tout sous-groupe d’un groupe libre est libre.
Attention. Si G est un groupe libre (même de rang fini) et si H est un sousgroupe de G, il n’existe aucune relation a priori entre le rang de G et celui de H,
comme le prouve l’exercice ci-dessous.
Exercice III.1. (¶). Soient G un groupe libre de rang 2 et {x, y} une base de G.
a) On considère S = {y −n xy n |n ∈ N}. Montrer que le sous-groupe de G
engendré par S est libre de base S.
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