Chapitre III. Présentation d’un groupe par générateurs et relations
Remarques III.1.1.
a) Si X = {x}, alors L(X) est un monogène infini engendré par x, donc L(X)
est isomorphe à Z.
b) Si card(X) > 1, alors L(X) est un groupe non abélien.
En effet, soient x et y dans X tels que x = y. Alors xyx −1 y −1 est un mot
réduit différent de 1, car de longueur 4. Donc xy est différent de yx dans L(X).
Théorème III.1.2 (propriété universelle du groupe libre). Soient G un groupe, S
une partie génératrice de G et i : S S→ G l’inclusion canonique. Alors le groupe G
est libre de base S si et seulement si, pour tout groupe G et pour toute application
σ : S → G , il existe un unique morphisme de groupes f : G → G tel que f ◦i = σ.
Démonstration. Supposons que G = L(S) ; tout élément x de L(S) s’écrivant de
manière unique x = s
n 1
i 1
. . . s
n k
i k
, on pose
f (x) = σ(s i 1 )
n 1 . . . σ(s i k )
n k ,
et f (1) = 1 G . Il est clair qu’on définit ainsi un morphisme de groupes
f : L(S) → G vérifiant f ◦ i = σ. De plus, si f est un autre morphisme de
groupes vérifiant f ◦ i = σ, pour tout x de L(S) on a f (x) = f (x), d’où l’unicité.
Réciproquement, considérons un couple (G, i) vérifiant l’énoncé ci-dessus.
On applique alors cet énoncé avec, pour couple (G , σ), le couple (L(S), j), où
j : S S→ L(S) est l’inclusion canonique. Il existe un unique morphisme
g : G → L(S) tel que g ◦ i = j. D’autre part, on sait qu’il existe un morphisme de
groupes f : L(S) → G prolongeant l’identité de S. En notant f |S et g |S les restrictions de f et g à S, on déduit de ce qui précède que g ◦ f |S = id S et f ◦ g |S = id S ,
d’où f ◦ g = id G et g ◦ f = id L(S) . Par conséquent les groupes G et L(S) sont
isomorphes et, puisque f (S) = S, G est libre de base S.
Corollaire III.1.1. Deux groupes libres de base un même ensemble S sont isomorphes par un unique isomorphisme prolongeant l’identité de S.
Démonstration. Soient G et G deux groupes libres de bases S. D’après le théorème (III.1.2), il existe un unique morphisme de groupes f : G → G tel que
f |S = id S et un unique morphisme de groupes g : G → G tel que g |S = id S . On
en déduit que f ◦ g = id G et g ◦ f = id G .
Remarque III.1.2. On peut donc parler du groupe libre engendré par S.
Théorème III.1.3. Deux ensembles X et Y sont équipotents si et seulement si les
groupes libres L(X) et L(Y ) sont isomorphes.
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Remarques III.1.1.
a) Si X = {x}, alors L(X) est un monogène infini engendré par x, donc L(X)
est isomorphe à Z.
b) Si card(X) > 1, alors L(X) est un groupe non abélien.
En effet, soient x et y dans X tels que x = y. Alors xyx −1 y −1 est un mot
réduit différent de 1, car de longueur 4. Donc xy est différent de yx dans L(X).
Théorème III.1.2 (propriété universelle du groupe libre). Soient G un groupe, S
une partie génératrice de G et i : S S→ G l’inclusion canonique. Alors le groupe G
est libre de base S si et seulement si, pour tout groupe G et pour toute application
σ : S → G , il existe un unique morphisme de groupes f : G → G tel que f ◦i = σ.
Démonstration. Supposons que G = L(S) ; tout élément x de L(S) s’écrivant de
manière unique x = s
n 1
i 1
. . . s
n k
i k
, on pose
f (x) = σ(s i 1 )
n 1 . . . σ(s i k )
n k ,
et f (1) = 1 G . Il est clair qu’on définit ainsi un morphisme de groupes
f : L(S) → G vérifiant f ◦ i = σ. De plus, si f est un autre morphisme de
groupes vérifiant f ◦ i = σ, pour tout x de L(S) on a f (x) = f (x), d’où l’unicité.
Réciproquement, considérons un couple (G, i) vérifiant l’énoncé ci-dessus.
On applique alors cet énoncé avec, pour couple (G , σ), le couple (L(S), j), où
j : S S→ L(S) est l’inclusion canonique. Il existe un unique morphisme
g : G → L(S) tel que g ◦ i = j. D’autre part, on sait qu’il existe un morphisme de
groupes f : L(S) → G prolongeant l’identité de S. En notant f |S et g |S les restrictions de f et g à S, on déduit de ce qui précède que g ◦ f |S = id S et f ◦ g |S = id S ,
d’où f ◦ g = id G et g ◦ f = id L(S) . Par conséquent les groupes G et L(S) sont
isomorphes et, puisque f (S) = S, G est libre de base S.
Corollaire III.1.1. Deux groupes libres de base un même ensemble S sont isomorphes par un unique isomorphisme prolongeant l’identité de S.
Démonstration. Soient G et G deux groupes libres de bases S. D’après le théorème (III.1.2), il existe un unique morphisme de groupes f : G → G tel que
f |S = id S et un unique morphisme de groupes g : G → G tel que g |S = id S . On
en déduit que f ◦ g = id G et g ◦ f = id G .
Remarque III.1.2. On peut donc parler du groupe libre engendré par S.
Théorème III.1.3. Deux ensembles X et Y sont équipotents si et seulement si les
groupes libres L(X) et L(Y ) sont isomorphes.
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