III.1. Groupes libres
Par définition, chaque mot u i est réduit et u i R (x 1 . . . x i ). De plus si x est
réduit, alors x = u n .
On appelle u n la forme réduite de x, qu’on note r(x).
L’unicité du mot réduit dans chaque classe d’équivalence de M(X ) pour la
relation R découle des deux lemmes suivants :
Lemme III.1.4. Si deux mots sont adjacents leurs formes réduites sont égales.
Démonstration. Soient x = x 1 . . . x k x k+1 . . . x n et y = x 1 . . . x k aa −1 x k+1 . . . x n
deux mots adjacents. Alors les suites u i et v i respectivement associées sont telles
que u 0 = v 0 , . . . , u k = v k . Montrons que u k = v k+2 .
– Si le dernier terme de u k est différent de a −1 alors
u k = v k , v k+1 = v k a, v k+2 = v k = u k .
– Si le dernier terme de u k est a −1 , on a u k = ta −1 et, u k étant réduit, le
dernier terme de t est différent de a, donc
u k = v k , v k+1 = t, v k+2 = ta
−1 = u k .
On en déduit que pour tout j 0, u k+j = v k+2+j et u n = v n+2 , d’où r(x) = r(y).
Lemme III.1.5. Deux mots équivalents et réduits sont égaux.
Démonstration. Soient x et y deux mots réduits tels que xRy. Il existe t 1 , . . . , t n
tels que x = t 1 , y = t n , t i At i+1 , 1 i n − 1. En considérant la forme réduite
de chaque t i et en appliquant le lemme (III.1.4), on a
x = r(t 1 ) = . . . = r(t n ) = y,
d’où le lemme.
En notant L X l’ensemble des mots réduits correspondants à chaque classe de
M(X )/R et en considérant la loi interne définie sur L X par (r(x), r(y)) → r(xy),
on obtient un groupe dans lequel tout élément x s’écrit de manière unique
x = x
n 1
i 1
. . . x
n k
i k
avec i 1 , . . . , i k ∈ N, n 1 , . . . , n k ∈ Z, x i 1 , . . . , x i k ∈ X, tels que x i j = x i j+1 .
D’autre part, l’application, qui à un élément de M(X )/R associe l’unique
mot réduit qu’il contient, induit un isomorphisme de groupes de M(X )/R sur
L X . Ceci achève la démonstration du théorème (III.1.1).
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Par définition, chaque mot u i est réduit et u i R (x 1 . . . x i ). De plus si x est
réduit, alors x = u n .
On appelle u n la forme réduite de x, qu’on note r(x).
L’unicité du mot réduit dans chaque classe d’équivalence de M(X ) pour la
relation R découle des deux lemmes suivants :
Lemme III.1.4. Si deux mots sont adjacents leurs formes réduites sont égales.
Démonstration. Soient x = x 1 . . . x k x k+1 . . . x n et y = x 1 . . . x k aa −1 x k+1 . . . x n
deux mots adjacents. Alors les suites u i et v i respectivement associées sont telles
que u 0 = v 0 , . . . , u k = v k . Montrons que u k = v k+2 .
– Si le dernier terme de u k est différent de a −1 alors
u k = v k , v k+1 = v k a, v k+2 = v k = u k .
– Si le dernier terme de u k est a −1 , on a u k = ta −1 et, u k étant réduit, le
dernier terme de t est différent de a, donc
u k = v k , v k+1 = t, v k+2 = ta
−1 = u k .
On en déduit que pour tout j 0, u k+j = v k+2+j et u n = v n+2 , d’où r(x) = r(y).
Lemme III.1.5. Deux mots équivalents et réduits sont égaux.
Démonstration. Soient x et y deux mots réduits tels que xRy. Il existe t 1 , . . . , t n
tels que x = t 1 , y = t n , t i At i+1 , 1 i n − 1. En considérant la forme réduite
de chaque t i et en appliquant le lemme (III.1.4), on a
x = r(t 1 ) = . . . = r(t n ) = y,
d’où le lemme.
En notant L X l’ensemble des mots réduits correspondants à chaque classe de
M(X )/R et en considérant la loi interne définie sur L X par (r(x), r(y)) → r(xy),
on obtient un groupe dans lequel tout élément x s’écrit de manière unique
x = x
n 1
i 1
. . . x
n k
i k
avec i 1 , . . . , i k ∈ N, n 1 , . . . , n k ∈ Z, x i 1 , . . . , x i k ∈ X, tels que x i j = x i j+1 .
D’autre part, l’application, qui à un élément de M(X )/R associe l’unique
mot réduit qu’il contient, induit un isomorphisme de groupes de M(X )/R sur
L X . Ceci achève la démonstration du théorème (III.1.1).
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