Chapitre III. Présentation d’un groupe par générateurs et relations
Démonstration. D’après la remarque (II.2.1), on sait que la loi interne de M(X )/R
induite par celle de M(X ) est associative et possède un élément neutre. Il suffit
donc de montrer que tout élément [x] possède un inverse. Considérons d’abord le
cas où x ∈ X ∪ X −1 ; il est clair que xx −1 R 1, car en prenant t 1 = t 2 = 1, on a
xx −1 = t 1 xx −1 t 2 et 1 = t 1 t 2 , d’où xx −1 A 1. De la même manière, x −1 x R 1. On
en déduit donc que
∀x ∈ M(X ), [x]
−1 = [x
−1 ].
La projection canonique π : M(X ) → M(X )/R vérifie
π(xy) = [xy] = [x][y] = π(x)π(y).
Donc, pour tout x = x
1
i 1
. . . x
n
in , i = ±1, [x] est inversible et a pour inverse
[x]
−1 = ([x
1
i 1
] . . . [x
n
in ])
−1 = [x
n
in ]
−1 . . . [x
1
i 1
]
−1 = [x
−n
in ] . . . [x
− 1
1 ] = [x
−n
in . . . x
− 1
1 ].
Démonstration du théorème IV.1.1. Nous allons démontrer que le groupe M(X )/R
est le groupe L(X) cherché ; pour cela, nous allons construire un groupe L X
qui répond à la définition (III.1.1) et montrer que ce groupe L X est isomorphe
à M(X )/R. Pour ce faire, nous allons montrer que chaque classe de M(X )/R
possède un élément privilégié, le groupe L X sera formé à partir de ces éléments.
Définition III.1.4. Un mot x de M(X ) est réduit si x = 1 ou x = a 1 . . . a n ,
avec a i ∈ X ∪ X −1 tels que a i+1 = a
−1
i , i = 1, . . . , n − 1.
Proposition III.1.1. Chaque classe d’équivalence de M(X ) pour la relation R
contient un mot réduit et un seul.
Démonstration. L’existence est évidente, car si x est non réduit, il existe un mot u
tel que xAu et l(u) < l(x). Comme la fonction l est à valeurs positive ou nulle,
en un nombre fini d’étapes on arrive à un mot réduit.
Pour montrer l’unicité, on introduit la construction suivante : pour tout
x = x 1 . . . x n de M(X ) on définit des éléments u i de la façon suivante :
u 0 = 1,
u 1 = x 1 ,
u 2 = x 1 x 2 si x 1 = x
−1
2
u 2 = 1 sinon,
et de façon générale, on pose
u i+1 = u i x i+1 si le dernier terme de u i est différent de x
−1
i+1 ,
u i+1 = u i−1 sinon.
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Démonstration. D’après la remarque (II.2.1), on sait que la loi interne de M(X )/R
induite par celle de M(X ) est associative et possède un élément neutre. Il suffit
donc de montrer que tout élément [x] possède un inverse. Considérons d’abord le
cas où x ∈ X ∪ X −1 ; il est clair que xx −1 R 1, car en prenant t 1 = t 2 = 1, on a
xx −1 = t 1 xx −1 t 2 et 1 = t 1 t 2 , d’où xx −1 A 1. De la même manière, x −1 x R 1. On
en déduit donc que
∀x ∈ M(X ), [x]
−1 = [x
−1 ].
La projection canonique π : M(X ) → M(X )/R vérifie
π(xy) = [xy] = [x][y] = π(x)π(y).
Donc, pour tout x = x
1
i 1
. . . x
n
in , i = ±1, [x] est inversible et a pour inverse
[x]
−1 = ([x
1
i 1
] . . . [x
n
in ])
−1 = [x
n
in ]
−1 . . . [x
1
i 1
]
−1 = [x
−n
in ] . . . [x
− 1
1 ] = [x
−n
in . . . x
− 1
1 ].
Démonstration du théorème IV.1.1. Nous allons démontrer que le groupe M(X )/R
est le groupe L(X) cherché ; pour cela, nous allons construire un groupe L X
qui répond à la définition (III.1.1) et montrer que ce groupe L X est isomorphe
à M(X )/R. Pour ce faire, nous allons montrer que chaque classe de M(X )/R
possède un élément privilégié, le groupe L X sera formé à partir de ces éléments.
Définition III.1.4. Un mot x de M(X ) est réduit si x = 1 ou x = a 1 . . . a n ,
avec a i ∈ X ∪ X −1 tels que a i+1 = a
−1
i , i = 1, . . . , n − 1.
Proposition III.1.1. Chaque classe d’équivalence de M(X ) pour la relation R
contient un mot réduit et un seul.
Démonstration. L’existence est évidente, car si x est non réduit, il existe un mot u
tel que xAu et l(u) < l(x). Comme la fonction l est à valeurs positive ou nulle,
en un nombre fini d’étapes on arrive à un mot réduit.
Pour montrer l’unicité, on introduit la construction suivante : pour tout
x = x 1 . . . x n de M(X ) on définit des éléments u i de la façon suivante :
u 0 = 1,
u 1 = x 1 ,
u 2 = x 1 x 2 si x 1 = x
−1
2
u 2 = 1 sinon,
et de façon générale, on pose
u i+1 = u i x i+1 si le dernier terme de u i est différent de x
−1
i+1 ,
u i+1 = u i−1 sinon.
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