III.1. Groupes libres
M(X ), on a l(xy) = l(x) + l(y), donc dès que x ou y est différent de 1, l(xy) > 0,
et xy = 1. Pour pallier cet inconvénient, on va définir sur M(X ) une relation
d’équivalence R telle que M(X )/R soit un groupe pour le produit induit par
celui de M(X ).
Définitions III.1.3.
a) Deux mots x et y de M(X ) sont adjacents s’il existe t 1 , t 2 ∈ M(X ) et
a ∈ X ∪ X −1 tels que
x = t 1 t 2 et y = t 1 aa
−1 t 2
ou
x = t 1 aa
−1 t 2 et y = t 1 t 2 ,
avec la convention (a −1 ) −1 = a pour tout a ∈ X ∪ X −1 .
Notation. Si x et y sont deux mots adjacents, on écrira x A y.
b) La relation R est définie sur M(X ) par
[xRy] ⇔ [∃t 1 , . . . , t n ∈ M(X) tels que x = t 1 , y = t n et t i At i+1 , i = 1, . . . , n−1].
Lemme III.1.1. La relation R est une relation d’équivalence.
Démonstration. Pour tout x de M(X ) on a x R x, en prenant a = 1, la relation est
donc réflexive. La relation d’adjacence étant symétrique, on en déduit facilement
qu’il en est de même pour la relation R. Soient x R y et y R z ; on a
(x = t 1 )A . . . A(t n = y = t n+1 )A . . . At n+p = z,
d’où x R z et la relation R est transitive.
Notation. Pour tout x de M(X ), on notera [x] sa classe dans M(X )/R.
Lemme III.1.2. La relation R est compatible avec la loi interne de M(X ).
Démonstration. Soient x, y, z dans M(X ) ; remarquons que x A y implique que
xz A yz. En effet, si x = t 1 t 2 et y = t 1 aa −1 t 2 , alors xz = t 1 (t 2 z)
et yz = t 1 aa −1 (t 2 z). Par conséquent, si (x = t 1 ) A . . . A t n , alors
(xz = t 1 z)A . . . A (t n z = yz), ce qui prouve que la relation R est compatible
à droite avec la loi de M(X ). Un raisonnement analogue montre la compatibilité
à gauche.
Lemme III.1.3. L’ensemble M(X )/R est un groupe pour la loi induite par celle
de M(X ).
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M(X ), on a l(xy) = l(x) + l(y), donc dès que x ou y est différent de 1, l(xy) > 0,
et xy = 1. Pour pallier cet inconvénient, on va définir sur M(X ) une relation
d’équivalence R telle que M(X )/R soit un groupe pour le produit induit par
celui de M(X ).
Définitions III.1.3.
a) Deux mots x et y de M(X ) sont adjacents s’il existe t 1 , t 2 ∈ M(X ) et
a ∈ X ∪ X −1 tels que
x = t 1 t 2 et y = t 1 aa
−1 t 2
ou
x = t 1 aa
−1 t 2 et y = t 1 t 2 ,
avec la convention (a −1 ) −1 = a pour tout a ∈ X ∪ X −1 .
Notation. Si x et y sont deux mots adjacents, on écrira x A y.
b) La relation R est définie sur M(X ) par
[xRy] ⇔ [∃t 1 , . . . , t n ∈ M(X) tels que x = t 1 , y = t n et t i At i+1 , i = 1, . . . , n−1].
Lemme III.1.1. La relation R est une relation d’équivalence.
Démonstration. Pour tout x de M(X ) on a x R x, en prenant a = 1, la relation est
donc réflexive. La relation d’adjacence étant symétrique, on en déduit facilement
qu’il en est de même pour la relation R. Soient x R y et y R z ; on a
(x = t 1 )A . . . A(t n = y = t n+1 )A . . . At n+p = z,
d’où x R z et la relation R est transitive.
Notation. Pour tout x de M(X ), on notera [x] sa classe dans M(X )/R.
Lemme III.1.2. La relation R est compatible avec la loi interne de M(X ).
Démonstration. Soient x, y, z dans M(X ) ; remarquons que x A y implique que
xz A yz. En effet, si x = t 1 t 2 et y = t 1 aa −1 t 2 , alors xz = t 1 (t 2 z)
et yz = t 1 aa −1 (t 2 z). Par conséquent, si (x = t 1 ) A . . . A t n , alors
(xz = t 1 z)A . . . A (t n z = yz), ce qui prouve que la relation R est compatible
à droite avec la loi de M(X ). Un raisonnement analogue montre la compatibilité
à gauche.
Lemme III.1.3. L’ensemble M(X )/R est un groupe pour la loi induite par celle
de M(X ).
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