Chapitre III. Présentation d’un groupe par générateurs et relations
On dit alors que S est une famille génératrice libre de G, ou encore que
S est une base de G.
b) Un groupe G est dit libre s’il possède une base.
c) Si le groupe G possède une base finie, il est dit libre de type fini.
Théorème III.1.1. Pour tout ensemble X, il existe un groupe libre L(X) de base X.
Posons X = {x i } i∈I et considérons X −1 un ensemble équipotent à X, dont
on notera les éléments x
−1
i , i ∈ I.
Il est important de noter qu’il s’agit là seulement d’une notation, qui sera
commode dans la suite. Les éléments x
−1
i ne sont pas les inverses des x i puisque,
pour l’instant, X et X −1 ne sont que des ensembles sans aucune structure algébrique. On aurait pu noter cet ensemble équipotent à X par Y et ses éléments
par y i , i ∈ I, mais, dans la suite, l’écriture des éléments en aurait été compliquée.
Définition III.1.2.
a) On appelle mot en X ∪ X −1 toute suite finie d’éléments de X ∪ X −1
x = x
1
i 1
. . . x
n
in , où i = ±1.
b) Dans l’écriture ci-dessus, l’entier n est la longueur du mot x, qu’on
notera l(x).
c) Deux mots x
1
i 1
. . . x
n
in et x
γ 1
j 1
. . . x
γ k
j k
sont des mots égaux si n = k et
∀p, 1 p n, i p = j p et p = γ p .
Par convention, il n’existe qu’un seul mot de longueur 0, qu’on notera 1. C’est
le mot qui correspond à la suite vide de X ∪ X −1 .
Exemple III.1.1. Si X = {x, y, z}, xyz, xyyzz −1 xx −1 x sont des mots en X ∪ X −1 .
On note M(X ) l’ensemble des mots en X ∪ X −1 et on définit sur M(X ) un
produit (loi de composition interne) par juxtaposition des mots. Plus précisément, si x = x
1
i 1
. . . x
n
in et y = x
γ 1
j 1
. . . x
γ k
j k
sont deux mots, alors
xy = x
1
i 1
. . . x
n
in x
γ 1
j 1
. . . x
γ k
j k
.
Par convention, on pose 1x = x1 = x. On remarquera que ce produit est
associatif, que 1 est élément neutre, mais que M(X ) n’est pas un groupe car
tout élément autre que 1 ne peut avoir d’inverse. En effet, pour tout x et y dans
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On dit alors que S est une famille génératrice libre de G, ou encore que
S est une base de G.
b) Un groupe G est dit libre s’il possède une base.
c) Si le groupe G possède une base finie, il est dit libre de type fini.
Théorème III.1.1. Pour tout ensemble X, il existe un groupe libre L(X) de base X.
Posons X = {x i } i∈I et considérons X −1 un ensemble équipotent à X, dont
on notera les éléments x
−1
i , i ∈ I.
Il est important de noter qu’il s’agit là seulement d’une notation, qui sera
commode dans la suite. Les éléments x
−1
i ne sont pas les inverses des x i puisque,
pour l’instant, X et X −1 ne sont que des ensembles sans aucune structure algébrique. On aurait pu noter cet ensemble équipotent à X par Y et ses éléments
par y i , i ∈ I, mais, dans la suite, l’écriture des éléments en aurait été compliquée.
Définition III.1.2.
a) On appelle mot en X ∪ X −1 toute suite finie d’éléments de X ∪ X −1
x = x
1
i 1
. . . x
n
in , où i = ±1.
b) Dans l’écriture ci-dessus, l’entier n est la longueur du mot x, qu’on
notera l(x).
c) Deux mots x
1
i 1
. . . x
n
in et x
γ 1
j 1
. . . x
γ k
j k
sont des mots égaux si n = k et
∀p, 1 p n, i p = j p et p = γ p .
Par convention, il n’existe qu’un seul mot de longueur 0, qu’on notera 1. C’est
le mot qui correspond à la suite vide de X ∪ X −1 .
Exemple III.1.1. Si X = {x, y, z}, xyz, xyyzz −1 xx −1 x sont des mots en X ∪ X −1 .
On note M(X ) l’ensemble des mots en X ∪ X −1 et on définit sur M(X ) un
produit (loi de composition interne) par juxtaposition des mots. Plus précisément, si x = x
1
i 1
. . . x
n
in et y = x
γ 1
j 1
. . . x
γ k
j k
sont deux mots, alors
xy = x
1
i 1
. . . x
n
in x
γ 1
j 1
. . . x
γ k
j k
.
Par convention, on pose 1x = x1 = x. On remarquera que ce produit est
associatif, que 1 est élément neutre, mais que M(X ) n’est pas un groupe car
tout élément autre que 1 ne peut avoir d’inverse. En effet, pour tout x et y dans
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