III
PRÉSENTATION D’UN GROUPE
PAR GÉNÉRATEURS ET RELATIONS
Nous avons vu en (I.2.B) que, si S est une partie génératrice d’un groupe G,
tout élément x de G s’écrit x = s 1 . . . s k , avec s i ∈ S ou s
−1
i
∈ S. Mais cette
écriture n’est pas unique (remarque I.2.3). Dans ce chapitre, nous allons montrer
que pour tout ensemble X, il existe un groupe L(X) dans lequel tout élément
s’écrit de manière unique en fonction des générateurs x i ∈ X. C’est le groupe
libre de base X. Outre l’écriture des éléments, ce groupe est d’une grande
importance, car on verra que tout groupe est isomorphe à un quotient d’un tel
groupe. De plus, cela conduit à la notion de groupes présentés par générateurs et
relations, qui sont des groupes dans lesquels les écritures des éléments en fonction
des générateurs peuvent être simplifiées à l’aide des relations entre ces générateurs.
Ces groupes sont particulièrement intéressants pour les possibilités qu’ils offrent,
de calculs effectifs sur les éléments et de définitions explicites de morphismes, dont
on trouvera des illustrations dans le TP.IV.A à la fin du chapitre IV.
III.1. Groupes libres
Définition III.1.1.
a) Soient G un groupe et S une partie de G. Le groupe G est dit libre de
base S si tout élément x de G s’écrit de manière unique
x = s
n 1
i 1
. . . s
n k
i k
avec k, i 1 , . . . , i k ∈ N, n 1 , . . . , n k ∈ Z, s i 1 , . . . , s i k ∈ S, tels que s i j = s i j+1 . Si
k = 0, on pose x = 1.