III.2. Générateurs et relations
Proposition III.2.1. Soient G = X|R et G un groupe. Pour définir un morphisme
de groupes f : G → G , il suffit de définir f (x) pour x ∈ X et de vérifier que,
pour tout r de R, f (r) = 1 G .
Démonstration. La donnée des f (x) pour x ∈ X induit, d’après le théorème (III.1.2), un morphisme (qu’on notera encore f ) de L(X) dans G . Si,
pour r parcourant R, f (r) = 1 G alors, d’après le théorème de passage au quotient (II.6.2), f induit un morphisme de groupes L(X)/(R) → G . En composant avec l’isomorphisme G L(X)/(R), on obtient un morphisme de groupes
G → G .
Remarque III.2.2. Soit G un groupe présenté par générateurs et relations,
G = X|R, et soit f : G → G un morphisme de groupes. Montrer que le morphisme f est injectif (i.e. f (x) = 0 ⇔ x ∈ (R)) est équivalent à déterminer toutes
les relations existantes dans G, liant les générateurs. C’est en général très difficile
à faire directement et parfois impossible. Par conséquent, si l’on souhaite montrer
que f est un isomorphisme (ce qui est le cas lorsqu’on veut montrer que G est
une présentation par générateurs et relations d’un groupe donné G ), il faudra
souvent, soit définir un morphisme réciproque, soit montrer, dans le cas où les
groupes sont finis, que f est surjectif et que G et G ont même ordre (cf. exercices
et TR ci-dessous).
Exercice III.3. Montrer que {a, b}|a 4 , b 2 , abab est une présentation du groupe diédral D 4 (cf. I.1.5.e).
Attention. On prendra garde au fait qu’un groupe peut admettre plusieurs
présentations par générateurs et relations.
Exercice III.4. Montrer que x|x 6 et {a, b}|a 2 , b 3 , aba −1 b −1 , avec a = b, sont
deux présentations du groupe cyclique d’ordre 6.
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