Table des matières
TP.IV.B
Actions k-transitives, formule de Burnside
et énumérations de Polya . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
V
Les théorèmes de Sylow
117
V.1
Le premier théorème de Sylow . . . . . . . . . . . . . . . 117
V.2
Le second théorème de Sylow . . . . . . . . . . . . . . . . 119
V.3
Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
Thèmes de réflexion
125
TR.V.A.
Int(S 6 ) = Aut(S 6 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
TR.V.B.
Détermination des groupes d’ordre n, n 15 . . . . . . . 126
TR.V.C.
Détermination des groupes d’ordre pq . . . . . . . . . . . 127
VI Groupes abéliens
129
VI.1
Somme directe de groupes abéliens . . . . . . . . . . . . . 129
A - Somme directe de sous-groupes d’un groupe abélien . 129
B - Somme directe de groupes abéliens . . . . . . . . . . 131
C - Facteur direct d’un groupe abélien . . . . . . . . . . 132
VI.2
Groupes abéliens libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
A - Définition - Propriété universelle . . . . . . . . . . . 133
B - Rang d’un groupe abélien libre . . . . . . . . . . . . 137
C - Sous-groupes d’un groupe abélien libre . . . . . . . . 140
VI.3
Groupes abéliens de torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
VI.4
Structure des groupes abéliens de type fini . . . . . . . . 145
Thèmes de réflexion
155
TR.VI.A. Rang d’un groupe libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
TR.VI.B. Groupes divisibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
TR.VI.C. Calcul des facteurs invariants . . . . . . . . . . . . . . . . 158
Travaux pratiques
161
TP.VI.A. Algorithmes de Gauss-Jordan, de Hermite et de Smith . . 161
TP.VI.B.
Courbes elliptiques et groupe de Mordell . . . . . . . . . 166
VII Groupes résolubles
177
VII.1
Suites de composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
VII.2
Suites de Jordan-Hölder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
VII.3
Groupes résolubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
VII.4
Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
vii