Algèbre T1
II.4
Caractérisation des sous-groupes normaux . . . . . . . . . 45
II.5
Sous-groupes normaux et morphismes . . . . . . . . . . . 47
II.6
Sous-groupes d’un groupe quotient . . . . . . . . . . . . . 48
Thèmes de réflexion
53
TR.II.A.
Sous-groupes dérivés et abélianisation . . . . . . . . . . . 53
TR.II.B.
Étude des sous-groupes normaux de S n . . . . . . . . . . 54
TR.II.C.
Étude des automorphismes de S n . . . . . . . . . . . . . . 57
Travaux pratiques
59
TP.II.
Classes, structure quotient et systèmes générateurs forts
59
III Présentation d’un groupe par générateurs et relations
65
III.1
Groupes libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
III.2
Générateurs et relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Thèmes de réflexion
75
TR.III.A. Présentation du groupe quaternionique H . . . . . . . . . 75
TR.III.B. Groupes de présentation finie . . . . . . . . . . . . . . . . 75
TR.III.C. Quelques propriétés des groupes libres . . . . . . . . . . . 76
TR.III.D. Produit libre de groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
IV Groupes opérant sur un ensemble
81
IV.1
Définitions – Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
IV.2
Stabilisateurs – Orbites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
IV.3
Produit semi-direct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
A - Groupes opérant sur un groupe . . . . . . . . . . . . 87
B - Produit semi-direct de sous-groupes . . . . . . . . . 87
C - Produit semi-direct de groupes . . . . . . . . . . . . 88
IV.4
Opérations transitives, fidèles . . . . . . . . . . . . . . . . 90
IV.5
Points fixes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
Thèmes de réflexion
93
TR.IV.A. Groupes diédraux D n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
TR.IV.B. Groupe des isométries du cube . . . . . . . . . . . . . . . 94
TR.IV.C. Produits et extensions de groupes . . . . . . . . . . . . . 94
TR.IV.D. Groupes libres de rang 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
Travaux pratiques
99
TP.IV.A. Générateurs et relations, autour de l’algorithme
de Todd-Coxeter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
vi
II.4
Caractérisation des sous-groupes normaux . . . . . . . . . 45
II.5
Sous-groupes normaux et morphismes . . . . . . . . . . . 47
II.6
Sous-groupes d’un groupe quotient . . . . . . . . . . . . . 48
Thèmes de réflexion
53
TR.II.A.
Sous-groupes dérivés et abélianisation . . . . . . . . . . . 53
TR.II.B.
Étude des sous-groupes normaux de S n . . . . . . . . . . 54
TR.II.C.
Étude des automorphismes de S n . . . . . . . . . . . . . . 57
Travaux pratiques
59
TP.II.
Classes, structure quotient et systèmes générateurs forts
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III Présentation d’un groupe par générateurs et relations
65
III.1
Groupes libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
III.2
Générateurs et relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Thèmes de réflexion
75
TR.III.A. Présentation du groupe quaternionique H . . . . . . . . . 75
TR.III.B. Groupes de présentation finie . . . . . . . . . . . . . . . . 75
TR.III.C. Quelques propriétés des groupes libres . . . . . . . . . . . 76
TR.III.D. Produit libre de groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
IV Groupes opérant sur un ensemble
81
IV.1
Définitions – Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
IV.2
Stabilisateurs – Orbites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
IV.3
Produit semi-direct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
A - Groupes opérant sur un groupe . . . . . . . . . . . . 87
B - Produit semi-direct de sous-groupes . . . . . . . . . 87
C - Produit semi-direct de groupes . . . . . . . . . . . . 88
IV.4
Opérations transitives, fidèles . . . . . . . . . . . . . . . . 90
IV.5
Points fixes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
Thèmes de réflexion
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TR.IV.A. Groupes diédraux D n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
TR.IV.B. Groupe des isométries du cube . . . . . . . . . . . . . . . 94
TR.IV.C. Produits et extensions de groupes . . . . . . . . . . . . . 94
TR.IV.D. Groupes libres de rang 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
Travaux pratiques
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TP.IV.A. Générateurs et relations, autour de l’algorithme
de Todd-Coxeter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
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