Algèbre T1
Deuxième partie – THÉORIE DES CORPS
185
VIII Anneaux de polynômes
187
VIII.1
Définitions - Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
VIII.2
Idéaux – Morphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
VIII.3
Idéaux maximaux, idéaux premiers . . . . . . . . . . . . . 194
VIII.4
Produit d’anneaux - Théorème chinois . . . . . . . . . . . 196
VIII.5
Corps des fractions d’un anneau intègre . . . . . . . . . . 198
VIII.6
Anneaux de polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
VIII.7
Anneaux principaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
VIII.8
Divisibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
VIII.9
Irréductibilité des polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . 212
VIII.10
Racines – Ordre de multiplicité . . . . . . . . . . . . . . . 217
VIII.11
Polynômes symétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
Thèmes de réflexion
225
TR.VIII.A. Critère d’irrédutibilité par extension . . . . . . . . . . . . 225
TR.VIII.B. Critère d’irréductibilité par réduction . . . . . . . . . . . 226
TR.VIII.C. Résultant - Discriminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
TR.VIII.D. Algèbres - Algèbres de polynômes . . . . . . . . . . . . . 228
Travaux pratiques
231
TP.VIII.
Entiers de Gauss et sommes de deux carrés . . . . . . . . 231
IX Généralités sur les extensions de corps
237
IX.1
Corps premiers – Caractéristique d’un corps . . . . . . . 237
IX.2
Extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
Thèmes de réflexion
243
TR.IX.A. Corps finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
TR.IX.B. Corps des quaternions et théorème des quatre carrés . . . 244
Travaux pratiques
249
TP.IX.A. Factorisation des polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . 249
TP.IX.B.
Les quaternions de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . 259
X
K-morphismes et groupe de Galois d’une extension
263
X.1
K-morphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
X.2
Groupe de Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
viii