Table des matières
X.3
Degré d’une extension et ordre du groupe de Galois . . . 266
X.4
Corps intermédiaires et sous-groupes du groupe de Galois 268
XI Extensions algébriques – extensions transcendantes
271
XI.1
Extensions algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
XI.2
Extensions transcendantes . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
XI.3
Appendice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
Thèmes de réflexion
285
TR.XI.A. Constructions à la règle et au compas . . . . . . . . . . . 285
TR.XI.B. Théorème de Lüroth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
Travaux pratiques
289
TP.XI.
Nombres algébriques et polynôme minimal . . . . . . . . 289
XII Décomposition des polynômes – Clôtures algébriques
299
XII.1
Corps de rupture et corps de décomposition
d’un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
XII.2
Clôtures algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
Thèmes de réflexion
311
TR.XII.
Plongements dans une clôture algébrique . . . . . . . . . 311
Travaux pratiques
315
TP.XII.
Calculs dans les corps de nombres . . . . . . . . . . . . . 315
XIII Extensions normales, séparables
321
XIII.1
Extensions et éléments conjugués . . . . . . . . . . . . . . 321
XIII.2
Extensions normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
XIII.3
Extensions séparables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
XIII.4
Éléments primitifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
XIII.5
Norme et trace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
Thèmes de réflexion
337
TR.XIII.A. Corps parfaits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
TR.XIII.B. Extensions inséparables et radicielles . . . . . . . . . . . . 337
TR.XIII.C. Dérivations et extensions séparables . . . . . . . . . . . . 339
ix