Algèbre T1
Troisième partie – THÉORIE DE GALOIS
ET APPLICATIONS
343
XIV Extensions galoisiennes – Théorie de Galois des extensions
finies
345
XIV.1
Extensions galoisiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
XIV.2
Clôture galoisienne d’une extension séparable . . . . . . . 348
XIV.3
Théorèmes fondamentaux de la théorie de Galois . . . . . 348
XIV.4
Étude d’un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
Thèmes de réflexion
355
TR.XIV.
Théorie de Galois des extensions infinies . . . . . . . . . . 355
Travaux pratiques
359
TP.XIV.
Autour de la correspondance de Galois . . . . . . . . . . 359
XV Racines de l’unité – Corps finis – Extensions cycliques
367
XV.1
Racines de l’unité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
XV.2
Corps des racines n-ième de l’unité . . . . . . . . . . . . . 369
XV.3
Polynômes cyclotomiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
XV.4
Corps finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373
XV.5
Extensions cycliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376
Thèmes de réflexion
381
TR.XV.A. Symboles de Legendre. Loi de réciprocité quadratique . . 381
TR.XV.B. Interprétation cohomologique du théorème « Hilbert 90 » 383
TR.XV.C. Irréductibilité du polynôme X n − a . . . . . . . . . . . . 384
Travaux pratiques
387
TP.XV.
Racines de l’unité dans un corps fini et codes BCH . . . . 387
XVI Résolubilité par radicaux des équations polynomiales
399
XVI.1
Extensions radicales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399
XVI.2
Résolubilité des polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . 402
XVI.3
Caractérisation des polynômes résolubles . . . . . . . . . 406
Thèmes de réflexion
409
TR.XVI.
Résolution des équations polynomiales de degrés 3 et 4
409
Travaux pratiques
413
TP.XVI.
Théorie de Galois constructive . . . . . . . . . . . . . . . 413
x