TRAVAUX PRATIQUES
TP.II. Classes, structure quotient et systèmes
générateurs forts
On poursuit dans ce TP l’étude des groupes de permutations, autour des notions de classes et de quotient. On liste les classes de conjugaison, ce qui est
l’occasion de discuter « l’équation aux classes » pour la conjugaison (voir le corollaire 2.1 du chapitre IV pour une version plus générale), puis les classes à gauche
et à droite modulo un sous-groupe afin d’illustrer la notion de sous-groupe distingué. En particulier, on regarde le quotient de S 4 par le groupe de Klein V 4 ,
quotient isomorphe à S 3 . Pour finir, on répond au problème du calcul effectif de
l’ordre et des éléments d’un groupe de permutations G défini par un système de
générateurs, ainsi que du test d’appartenance à G d’un élément donné : quels algorithmes se cachent derrière les commandes grouporder, elements et groupmember
de Maple, qui sont vraisemblablement plus performants que les algorithmes naïfs
vus dans le cadre du TP.I ?
Conjugaison et équation aux classes
1. Dénombrer à la main le nombre de conjugués de σ = (123)(45) dans S 6 ; vérifier
avec la commande SnConjugates.
Dans le cas d’un groupe de permutations G quelconque, disons de degré n,
deux éléments a et b conjugués sous G sont conjugués dans S n , donc de même
type. Écrire une procédure areconj:=proc(G,a,b) testant si a et b sont conjugués
dans G. On utilisera la condition nécessaire précédente afin d’éliminer de suite ces
cas où la réponse est négative.
Soient a = (1, 2)(3, 4), b = (1, 3)(2, 4) et D 4 le sous-groupe de S 4 engendré
par (1, 2, 3, 4) et (1, 3) (c’est le groupe des isométries du carré déjà rencontré dans
TP.II. Classes, structure quotient et systèmes
générateurs forts
On poursuit dans ce TP l’étude des groupes de permutations, autour des notions de classes et de quotient. On liste les classes de conjugaison, ce qui est
l’occasion de discuter « l’équation aux classes » pour la conjugaison (voir le corollaire 2.1 du chapitre IV pour une version plus générale), puis les classes à gauche
et à droite modulo un sous-groupe afin d’illustrer la notion de sous-groupe distingué. En particulier, on regarde le quotient de S 4 par le groupe de Klein V 4 ,
quotient isomorphe à S 3 . Pour finir, on répond au problème du calcul effectif de
l’ordre et des éléments d’un groupe de permutations G défini par un système de
générateurs, ainsi que du test d’appartenance à G d’un élément donné : quels algorithmes se cachent derrière les commandes grouporder, elements et groupmember
de Maple, qui sont vraisemblablement plus performants que les algorithmes naïfs
vus dans le cadre du TP.I ?
Conjugaison et équation aux classes
1. Dénombrer à la main le nombre de conjugués de σ = (123)(45) dans S 6 ; vérifier
avec la commande SnConjugates.
Dans le cas d’un groupe de permutations G quelconque, disons de degré n,
deux éléments a et b conjugués sous G sont conjugués dans S n , donc de même
type. Écrire une procédure areconj:=proc(G,a,b) testant si a et b sont conjugués
dans G. On utilisera la condition nécessaire précédente afin d’éliminer de suite ces
cas où la réponse est négative.
Soient a = (1, 2)(3, 4), b = (1, 3)(2, 4) et D 4 le sous-groupe de S 4 engendré
par (1, 2, 3, 4) et (1, 3) (c’est le groupe des isométries du carré déjà rencontré dans