Algèbre T1
le TP.I). Vérifier que a et b appartiennent à D 4 . Sont-ils conjugués dans S 4 ? Et
dans D 4 ? Vérifier également avec la commande areconjugate de Maple.
2. Écrire une procédure classeconj:=proc(a,G) renvoyant la classe de conjugaison de a dans G. Reprenant l’exemple de la question précédente, calculer les classes
de a et b dans S 4 et dans G. L’équation aux classes d’un groupe G est la formule
Card(G) =
i Card(C i ), où les C i sont les classes de conjugaison distinctes de G.
Cela résulte tout bonnement du fait que la conjugaison est une relation d’équivalence sur G. Écrire une procédure nommée listeclasses:=proc(G) donnant
l’équation aux classes pour le groupe G sous la forme de la liste des cardinaux
des classes de conjugaison de G, rangés par ordre croissant. Vérifier la validité de
l’équation aux classes pour S 4 et le groupe D 4 de la question précédente.
3. Deux groupes ayant même équation aux classes sont-ils isomorphes en tant que
groupes abstraits ? (Indication : rechercher parmi les groupes de permutations
abéliens.)
Classes modulo un sous-groupe, sous-groupes distingués
☞ Quelques commandes Maple utiles : isnormal, evalb(E=F) (teste par
exemple l’égalité de deux ensembles E et F ).
Dans ce paragraphe, G est un groupe et H est un sous-groupe de G.
4. Soit x un élément de G. Écrire deux procédures classeg:=proc(x,H) et
classed:=proc(x,H) renvoyant respectivement la classe à gauche xH et à droite
Hx de x modulo H.
5. La commande cosets renvoie une liste de représentants des classes à gauche
modulo un sous-groupe. Définir le groupe de Klein V 4 des isométries du rectangle
comme un sous-groupe de S 4 (par restriction à l’ensemble des sommets) et donner
la liste des classes à gauche modulo V 4 . Puis lister les classes à droite (indication :
le morphisme g → g −1 induit une bijection (G/H) g → (G/H) d ). Conclusion ?
Vérifier avec une commande Maple appropriée. Est-ce étonnant, sachant que la
conjugaison conserve le type ? Pour finir, déduire de la liste précédente que le
groupe quotient S 4 /V 4 est isomorphe à S 3 (indication : considérer la restriction
de l’application de passage au quotient S 4 → S 4 /V au sous-groupe S 3 , identifié
aux permutations laissant fixe 1).
Remarque. Noter que V 4 est un sous-groupe distingué de A 4 . C’est une exception :
on a démontré au TR.II.B que A n est simple pour n = 4 : il ne possède pas de
sous-groupe distingué propre.
6. On prend cette fois pour H le sous-groupe engendré par (12) et (34), qui
est également isomorphe à V 4 , car engendré par deux éléments d’ordre 2 qui
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le TP.I). Vérifier que a et b appartiennent à D 4 . Sont-ils conjugués dans S 4 ? Et
dans D 4 ? Vérifier également avec la commande areconjugate de Maple.
2. Écrire une procédure classeconj:=proc(a,G) renvoyant la classe de conjugaison de a dans G. Reprenant l’exemple de la question précédente, calculer les classes
de a et b dans S 4 et dans G. L’équation aux classes d’un groupe G est la formule
Card(G) =
i Card(C i ), où les C i sont les classes de conjugaison distinctes de G.
Cela résulte tout bonnement du fait que la conjugaison est une relation d’équivalence sur G. Écrire une procédure nommée listeclasses:=proc(G) donnant
l’équation aux classes pour le groupe G sous la forme de la liste des cardinaux
des classes de conjugaison de G, rangés par ordre croissant. Vérifier la validité de
l’équation aux classes pour S 4 et le groupe D 4 de la question précédente.
3. Deux groupes ayant même équation aux classes sont-ils isomorphes en tant que
groupes abstraits ? (Indication : rechercher parmi les groupes de permutations
abéliens.)
Classes modulo un sous-groupe, sous-groupes distingués
☞ Quelques commandes Maple utiles : isnormal, evalb(E=F) (teste par
exemple l’égalité de deux ensembles E et F ).
Dans ce paragraphe, G est un groupe et H est un sous-groupe de G.
4. Soit x un élément de G. Écrire deux procédures classeg:=proc(x,H) et
classed:=proc(x,H) renvoyant respectivement la classe à gauche xH et à droite
Hx de x modulo H.
5. La commande cosets renvoie une liste de représentants des classes à gauche
modulo un sous-groupe. Définir le groupe de Klein V 4 des isométries du rectangle
comme un sous-groupe de S 4 (par restriction à l’ensemble des sommets) et donner
la liste des classes à gauche modulo V 4 . Puis lister les classes à droite (indication :
le morphisme g → g −1 induit une bijection (G/H) g → (G/H) d ). Conclusion ?
Vérifier avec une commande Maple appropriée. Est-ce étonnant, sachant que la
conjugaison conserve le type ? Pour finir, déduire de la liste précédente que le
groupe quotient S 4 /V 4 est isomorphe à S 3 (indication : considérer la restriction
de l’application de passage au quotient S 4 → S 4 /V au sous-groupe S 3 , identifié
aux permutations laissant fixe 1).
Remarque. Noter que V 4 est un sous-groupe distingué de A 4 . C’est une exception :
on a démontré au TR.II.B que A n est simple pour n = 4 : il ne possède pas de
sous-groupe distingué propre.
6. On prend cette fois pour H le sous-groupe engendré par (12) et (34), qui
est également isomorphe à V 4 , car engendré par deux éléments d’ordre 2 qui
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