Thèmes de réflexion
On considère l’ensemble E = A n /H 1 des classes à gauche de A n modulo H 1 .
D’après le dernier résultat de la question 19, on a 1 card(E) < n.
À tout élément xH 1 de E et tout élément g ∈ A n , on associe l’élément gxH 1
de E.
20. Montrer que ceci définit un morphisme de groupes ϕ : A n −→ S E .
21. On suppose que card(E) = 1. Montrer alors que Ker(ϕ) est strictement
contenu dans A n et en déduire que ϕ est injectif. (On utilisera la question 12.)
22. Déduire de ce qui précède que card(E) = 1, d’où card(H) = card(S n ).
Ce dernier résultat prouve que H = S n .
♠ TR.II.C. Étude des automorphismes de S n
Le but de cette étude est de montrer que pour tout n ∈ N ∗ , n 2, n = 6, on
a Int(S n ) = Aut(S n ).
1. En remarquant que le groupe S n , n 2, est engendré par les transpositions
τ i = (1, i), montrer que tout automorphisme de S n qui transforme toute transposition en une transposition est intérieur.
Pour démontrer le résultat annoncé, il suffit donc de prouver que, pour n = 6,
tout automorphisme de S n transforme toute transposition en une transposition.
Pour cela, nous allons d’abord étudier les centralisateurs de certains éléments de
S n (questions 2 et 3), puis faire un raisonnement par l’absurde.
On considère τ = (i, j) une transposition donnée et C(τ ) son centralisateur,
i.e. C(τ ) = Z Sn (τ ).
2. En considérant E = [n] \ {i, j}, montrer que l’application qui à un élément
γ de C(τ ) associe sa restriction à E, induit un morphisme surjectif de groupes
f : C(τ ) → S E S n−2 , dont le noyau est isomorphe à Z/2Z.
3. En déduire que si σ est un produit de k transpositions à supports disjoints,
ces transpositions engendrent un sous-groupe normal de C(σ) qui est isomorphe
à (Z/2Z) k .
Soit ϕ ∈ Aut(S n ). On suppose qu’il existe une transposition τ telle que
ϕ(τ ) = σ, où σ est égale à un produit de k transpositions, avec k 2.
4. En remarquant que les centralisateurs C(τ ) et C(σ) sont isomorphes, montrer
que S n−2 possède un sous-groupe normal isomorphe à (Z/2Z) l , avec l > 0.
L’étude faite au TR.II.B ci-dessus montre que ceci n’est possible que si
n − 2 = 2 (i.e. n = 4), ou n − 2 = 4 (i.e. n = 6).
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On considère l’ensemble E = A n /H 1 des classes à gauche de A n modulo H 1 .
D’après le dernier résultat de la question 19, on a 1 card(E) < n.
À tout élément xH 1 de E et tout élément g ∈ A n , on associe l’élément gxH 1
de E.
20. Montrer que ceci définit un morphisme de groupes ϕ : A n −→ S E .
21. On suppose que card(E) = 1. Montrer alors que Ker(ϕ) est strictement
contenu dans A n et en déduire que ϕ est injectif. (On utilisera la question 12.)
22. Déduire de ce qui précède que card(E) = 1, d’où card(H) = card(S n ).
Ce dernier résultat prouve que H = S n .
♠ TR.II.C. Étude des automorphismes de S n
Le but de cette étude est de montrer que pour tout n ∈ N ∗ , n 2, n = 6, on
a Int(S n ) = Aut(S n ).
1. En remarquant que le groupe S n , n 2, est engendré par les transpositions
τ i = (1, i), montrer que tout automorphisme de S n qui transforme toute transposition en une transposition est intérieur.
Pour démontrer le résultat annoncé, il suffit donc de prouver que, pour n = 6,
tout automorphisme de S n transforme toute transposition en une transposition.
Pour cela, nous allons d’abord étudier les centralisateurs de certains éléments de
S n (questions 2 et 3), puis faire un raisonnement par l’absurde.
On considère τ = (i, j) une transposition donnée et C(τ ) son centralisateur,
i.e. C(τ ) = Z Sn (τ ).
2. En considérant E = [n] \ {i, j}, montrer que l’application qui à un élément
γ de C(τ ) associe sa restriction à E, induit un morphisme surjectif de groupes
f : C(τ ) → S E S n−2 , dont le noyau est isomorphe à Z/2Z.
3. En déduire que si σ est un produit de k transpositions à supports disjoints,
ces transpositions engendrent un sous-groupe normal de C(σ) qui est isomorphe
à (Z/2Z) k .
Soit ϕ ∈ Aut(S n ). On suppose qu’il existe une transposition τ telle que
ϕ(τ ) = σ, où σ est égale à un produit de k transpositions, avec k 2.
4. En remarquant que les centralisateurs C(τ ) et C(σ) sont isomorphes, montrer
que S n−2 possède un sous-groupe normal isomorphe à (Z/2Z) l , avec l > 0.
L’étude faite au TR.II.B ci-dessus montre que ceci n’est possible que si
n − 2 = 2 (i.e. n = 4), ou n − 2 = 4 (i.e. n = 6).
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