Algèbre T1
Cas n 5
10. Soit H un sous-groupe normal de A n . Montrer que si H contient un 3-cycle,
alors H = A n .
Soit H un sous-groupe normal non trivial de A n . On va démontrer que si H
contient une permutation σ, alors il existe un 3-cycle γ tel que σ = γσγ −1 σ −1
soit un 3-cycle. Pour cela, on note l(σ) la longueur du cycle le plus long dans la
décomposition canonique de σ en produit de cycles.
11. Démontrer, en distinguant successivement les cas l(σ) > 3, l(σ) = 3, l(σ) = 2,
que dans chaque cas H contient un 3-cycle. (On calculera d’abord σγ −1 σ −1 .)
12. En déduire que pour n 5, A n est un groupe simple.
13. Montrer que A n est le seul sous-groupe normal de S n .
14. Montrer que D(A n ) = A n .
Nous allons maintenant établir que D(S n ) = A n .
15. Montrer que D(S n ) ⊆ A n .
On considère la projection canonique π : S n → S n /D(S n ).
16. Montrer que pour tout couple (τ, τ ) de transpositions, on a π(τ ) = π(τ ). En
déduire que pour tout élément σ de A n , on a π(σ) = 1.
17. En déduire que D(S n ) = A n .
Application. Pour tout entier n > 1, il n’existe pas de sous-groupe de S n
strictement compris entre S n−1 et S n .
Le groupe S n−1 n’étant pas un sous-groupe de S n , la phrase ci-dessus est
incorrecte : elle nécessite donc une précision. Les éléments de S n qui laissent fixe
le point n forment un sous-groupe K qui est isomorphe à S n−1 : c’est via cet
isomorphisme que l’on considère S n−1 comme un sous-groupe de S n .
Nous allons montrer le résultat suivant :
Pour tout entier n > 1, si H est un sous-groupe de S n contenant
strictement K, alors H = S n .
Le résultat est évident pour n = 2, 3.
18. Montrer que A 4 est le seul sous-groupe d’ordre 12 de S 4 et en déduire le
résultat pour n = 4.
On suppose maintenant que n 5 et soit H un sous-groupe de S n contenant
strictement K. On pose K 1 = K ∩ A n et H 1 = H ∩ A n .
19. Justifier que K 1 A n−1 et montrer que K 1 est strictement contenu dans H 1 .
En déduire que l’indice de H 1 dans A n est strictement inférieur à n.
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Cas n 5
10. Soit H un sous-groupe normal de A n . Montrer que si H contient un 3-cycle,
alors H = A n .
Soit H un sous-groupe normal non trivial de A n . On va démontrer que si H
contient une permutation σ, alors il existe un 3-cycle γ tel que σ = γσγ −1 σ −1
soit un 3-cycle. Pour cela, on note l(σ) la longueur du cycle le plus long dans la
décomposition canonique de σ en produit de cycles.
11. Démontrer, en distinguant successivement les cas l(σ) > 3, l(σ) = 3, l(σ) = 2,
que dans chaque cas H contient un 3-cycle. (On calculera d’abord σγ −1 σ −1 .)
12. En déduire que pour n 5, A n est un groupe simple.
13. Montrer que A n est le seul sous-groupe normal de S n .
14. Montrer que D(A n ) = A n .
Nous allons maintenant établir que D(S n ) = A n .
15. Montrer que D(S n ) ⊆ A n .
On considère la projection canonique π : S n → S n /D(S n ).
16. Montrer que pour tout couple (τ, τ ) de transpositions, on a π(τ ) = π(τ ). En
déduire que pour tout élément σ de A n , on a π(σ) = 1.
17. En déduire que D(S n ) = A n .
Application. Pour tout entier n > 1, il n’existe pas de sous-groupe de S n
strictement compris entre S n−1 et S n .
Le groupe S n−1 n’étant pas un sous-groupe de S n , la phrase ci-dessus est
incorrecte : elle nécessite donc une précision. Les éléments de S n qui laissent fixe
le point n forment un sous-groupe K qui est isomorphe à S n−1 : c’est via cet
isomorphisme que l’on considère S n−1 comme un sous-groupe de S n .
Nous allons montrer le résultat suivant :
Pour tout entier n > 1, si H est un sous-groupe de S n contenant
strictement K, alors H = S n .
Le résultat est évident pour n = 2, 3.
18. Montrer que A 4 est le seul sous-groupe d’ordre 12 de S 4 et en déduire le
résultat pour n = 4.
On suppose maintenant que n 5 et soit H un sous-groupe de S n contenant
strictement K. On pose K 1 = K ∩ A n et H 1 = H ∩ A n .
19. Justifier que K 1 A n−1 et montrer que K 1 est strictement contenu dans H 1 .
En déduire que l’indice de H 1 dans A n est strictement inférieur à n.
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