Thèmes de réflexion
2. Montrer que si H est un sous-groupe normal non trivial de S n , n 3, alors
H ∩ A n est un sous-groupe normal non trivial de A n . Montrer que A n est l’unique
sous-groupe d’indice 2 de S n .
3. Montrer que si n 3, le groupe A n est engendré par les 3-cycles (1, 2, i) avec
3 i n.
Cas n = 3
4. Montrer que le seul sous-groupe normal propre de S 3 est A 3 .
Cas n = 4
On considère les éléments de S 4 suivants :
σ 1 = (1, 2)(3, 4), σ 2 = (1, 3)(2, 4), σ 3 = (1, 4)(2, 3),
où (i, j) est la transposition (ou 2-cycle) échangeant i et j et on pose
V 4 = {1, σ 1 , σ 2 , σ 3 },
où 1 est la permutation identité.
5. Montrer que
– il contient tous les éléments d’ordre 2 de A 4 ;
– V 4 est un sous-groupe abélien normal de A 4 et S 4 ;
– c’est le seul sous-groupe d’ordre 4 de A 4 .
6. Montrer que V 4 admet trois sous-groupes propres K i , i = 1, 2, 3, et qu’ils sont
normaux dans V 4 , mais pas dans A 4 . (On a ainsi un exemple illustrant le fait que
la propriété d’être un sous-groupe normal n’est pas transitive, comme cela a été
souligné dans les exemples (II.3.2).)
7. Montrer qu’il n’y a pas de sous-groupe d’ordre 6 dans A 4 et que Z(A 4 ) = {1}.
8. Montrer que le groupe S 4 /V 4 est isomorphe au groupe S 3 . En déduire que A 4 est
le seul sous-groupe normal propre de S 4 contenant strictement V 4 . (Indication :
identifiant S 3 avec l’ensemble des permutations σ dans S 4 vérifiant σ(1) = 1,
démontrer que tout élément de S 4 s’écrit de manière unique comme un produit
xy, x ∈ V 4 , y ∈ S 3 . En déduire que le groupe S 4 /V 4 est isomorphe au groupe
S 3 . Finalement, démontrer que A 4 est le seul sous-groupe normal propre de S 4
contenant strictement V 4 . (Si H est un tel sous-groupe, considérer l’application
S 3 S 4 /V 4 −→ S 4 /H).)
9. En déduire que les seuls sous-groupes propres normaux de S 4 sont V 4 et A 4 .
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2. Montrer que si H est un sous-groupe normal non trivial de S n , n 3, alors
H ∩ A n est un sous-groupe normal non trivial de A n . Montrer que A n est l’unique
sous-groupe d’indice 2 de S n .
3. Montrer que si n 3, le groupe A n est engendré par les 3-cycles (1, 2, i) avec
3 i n.
Cas n = 3
4. Montrer que le seul sous-groupe normal propre de S 3 est A 3 .
Cas n = 4
On considère les éléments de S 4 suivants :
σ 1 = (1, 2)(3, 4), σ 2 = (1, 3)(2, 4), σ 3 = (1, 4)(2, 3),
où (i, j) est la transposition (ou 2-cycle) échangeant i et j et on pose
V 4 = {1, σ 1 , σ 2 , σ 3 },
où 1 est la permutation identité.
5. Montrer que
– il contient tous les éléments d’ordre 2 de A 4 ;
– V 4 est un sous-groupe abélien normal de A 4 et S 4 ;
– c’est le seul sous-groupe d’ordre 4 de A 4 .
6. Montrer que V 4 admet trois sous-groupes propres K i , i = 1, 2, 3, et qu’ils sont
normaux dans V 4 , mais pas dans A 4 . (On a ainsi un exemple illustrant le fait que
la propriété d’être un sous-groupe normal n’est pas transitive, comme cela a été
souligné dans les exemples (II.3.2).)
7. Montrer qu’il n’y a pas de sous-groupe d’ordre 6 dans A 4 et que Z(A 4 ) = {1}.
8. Montrer que le groupe S 4 /V 4 est isomorphe au groupe S 3 . En déduire que A 4 est
le seul sous-groupe normal propre de S 4 contenant strictement V 4 . (Indication :
identifiant S 3 avec l’ensemble des permutations σ dans S 4 vérifiant σ(1) = 1,
démontrer que tout élément de S 4 s’écrit de manière unique comme un produit
xy, x ∈ V 4 , y ∈ S 3 . En déduire que le groupe S 4 /V 4 est isomorphe au groupe
S 3 . Finalement, démontrer que A 4 est le seul sous-groupe normal propre de S 4
contenant strictement V 4 . (Si H est un tel sous-groupe, considérer l’application
S 3 S 4 /V 4 −→ S 4 /H).)
9. En déduire que les seuls sous-groupes propres normaux de S 4 sont V 4 et A 4 .
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