Algèbre T1
d’autre part. L’unicité de l’isomorphisme provient de la condition d’unicité imposée au morphisme f par l’énoncé.)
On reformule la question précédente en disant que, si le problème universel d’abélianisation admet une solution, elle est unique à un unique isomorphisme
près. C’est-à-dire que, dès qu’on connaît une solution, on connaît toutes les autres,
sans ambiguïté sur le passage de l’une à l’autre. Comme on l’a remarqué à la question précédente, c’est la condition d’unicité du morphisme f imposée par l’énoncé
du problème qui impose « l’unicité de la solution » et « l’unicité de l’isomorphisme », i.e. qui confère à ce problème son caractère universel.
5. Montrer que (G/D(G), π), où π est la projection canonique π : G → G/D(G),
est solution du problème universel d’abélianisation de G.
On déduit de la question 4 que (G/D(G), π) est la solution du problème
d’abélianisation de G.
♥ TR.II.B. Étude des sous-groupes normaux de S n
Le goupe A n , n 3, formé des permutations de signature +1 d’un ensemble
à n éléments, est le noyau du morphisme signature (cf. TR.I.A), c’est donc un
sous-groupe normal propre de S n . Nous allons montrer que pour tout n = 4, c’est
le seul sous-groupe normal de S n .
Nous allons plus précisément montrer que, pour n 3, n = 4, le groupe A n
n’a pas de sous-groupes normaux propres.
Un groupe G n’ayant pas de sous-groupes normaux propres est dit simple.
L’étude des groupes finis simples est une partie importante de la théorie des
groupes. Le résultat suivant, dont la démonstration est l’une des plus difficiles des
mathématiques (et dépasse donc très largement le cadre de ce livre), en est une
étape cruciale :
Les groupes simples finis, autres que les groupes cycliques d’ordre
premier, sont d’ordre pair.
Le but de ce TR est évidemment beaucoup plus modeste, néanmoins, le fait
que les groupes A n , n 5, soient simples a des conséquences très importantes. En
particulier, c’est la raison fondamentale pour laquelle les équations polynomiales
de degré supérieur ou égal à 5 ne sont pas résolubles par radicaux, contrairement
aux équations polynomiales de degré inférieur ou égal à 4 (cf. chapitre XVI).
1. Montrer que les groupes abéliens simples sont les groupes cycliques d’ordre
premier.
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d’autre part. L’unicité de l’isomorphisme provient de la condition d’unicité imposée au morphisme f par l’énoncé.)
On reformule la question précédente en disant que, si le problème universel d’abélianisation admet une solution, elle est unique à un unique isomorphisme
près. C’est-à-dire que, dès qu’on connaît une solution, on connaît toutes les autres,
sans ambiguïté sur le passage de l’une à l’autre. Comme on l’a remarqué à la question précédente, c’est la condition d’unicité du morphisme f imposée par l’énoncé
du problème qui impose « l’unicité de la solution » et « l’unicité de l’isomorphisme », i.e. qui confère à ce problème son caractère universel.
5. Montrer que (G/D(G), π), où π est la projection canonique π : G → G/D(G),
est solution du problème universel d’abélianisation de G.
On déduit de la question 4 que (G/D(G), π) est la solution du problème
d’abélianisation de G.
♥ TR.II.B. Étude des sous-groupes normaux de S n
Le goupe A n , n 3, formé des permutations de signature +1 d’un ensemble
à n éléments, est le noyau du morphisme signature (cf. TR.I.A), c’est donc un
sous-groupe normal propre de S n . Nous allons montrer que pour tout n = 4, c’est
le seul sous-groupe normal de S n .
Nous allons plus précisément montrer que, pour n 3, n = 4, le groupe A n
n’a pas de sous-groupes normaux propres.
Un groupe G n’ayant pas de sous-groupes normaux propres est dit simple.
L’étude des groupes finis simples est une partie importante de la théorie des
groupes. Le résultat suivant, dont la démonstration est l’une des plus difficiles des
mathématiques (et dépasse donc très largement le cadre de ce livre), en est une
étape cruciale :
Les groupes simples finis, autres que les groupes cycliques d’ordre
premier, sont d’ordre pair.
Le but de ce TR est évidemment beaucoup plus modeste, néanmoins, le fait
que les groupes A n , n 5, soient simples a des conséquences très importantes. En
particulier, c’est la raison fondamentale pour laquelle les équations polynomiales
de degré supérieur ou égal à 5 ne sont pas résolubles par radicaux, contrairement
aux équations polynomiales de degré inférieur ou égal à 4 (cf. chapitre XVI).
1. Montrer que les groupes abéliens simples sont les groupes cycliques d’ordre
premier.
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