THÈMES DE RÉFLEXION
♣ TR.II.A. Sous-groupes dérivés et abélianisation
À tout groupe G on associe un sous-groupe normal D(G), appelé sous-groupe
dérivé de G, tel que le groupe quotient G/D(G) soit un groupe abélien. On
montre que ce dernier groupe est solution du problème universel d’abélianisation.
Soit G un groupe : pour tous x et y éléments de G, on pose [x, y] = xyx −1 y −1 .
Cet élément de G est appelé commutateur de x et y. On remarquera que le
groupe G est abélien si et seulement si, pour tous x et y éléments de G, on a
[x, y] = 1.
On note D(G) le sous-groupe de G engendré par les commutateurs [x, y] pour
x et y parcourant G et on l’appelle sous-groupe dérivé de G.
1. Montrer que D(G) est un sous-groupe normal de G.
2. Montrer que le groupe G/D(G) est abélien.
3. Soit H un sous-groupe normal de G. Montrer que G/H est abélien si et seulement si D(G) ⊆ H.
Problème universel d’abélianisation
Pour tout groupe G, on appelle abélianisé de G la donnée d’un groupe abélien
G ab et d’un morphisme de groupes λ : G → G ab tels que, pour tout groupe abélien
A et tout morphisme de groupes f : G → A, il existe un unique morphisme de
groupes abéliens f : G ab → A tel que f ◦ λ = f . Si (G ab , λ) existe, on dit que c’est
une solution du problème universel d’abélianisation du groupe G.
4. Montrer que si le problème universel d’abélianisation admet deux solutions,
elles sont isomorphes et que l’isomorphisme permettant de passer de l’une à l’autre
est unique. (On considérera deux solutions (G ab , λ) et (G
ab , λ ) et on considérera
le problème précédent en remplaçant (A, f ) par (G ab , λ) d’une part et (G
ab , λ )