Chapitre II. Groupes quotients
Démonstration. On sait, d’après le théorème (II.6.1), que K/H est un sous-groupe
normal de G/H et le groupe quotient (G/H)/(K/H) est bien défini. Considérons
les morphismes canoniques
π H : G → G/H, π K : G → G/K, π : G/H → (G/H)/(K/H).
Puisque π H (K) = K/H, d’après le théorème de passage au quotient, il existe un
unique morphisme ϕ : G/K → (G/H)/(K/H) tel que le diagramme suivant soit
commutatif :
G
π H
− −−− →
G/H
π K
⏐
⏐
⏐
⏐
π
G/K − −−− →
ϕ
(G/H)/(K/H)
Le morphisme π ◦ π H étant surjectif, il en est de même du morphisme ϕ.
D’autre part, on a
[ϕ(π K (x)) = 0] ⇔ [π H (x) ∈ K/H] ⇔ [x ∈ K],
d’où ϕ(π K (x)) = 0 équivaut à π K (x) = 0 et ϕ est injective. Par conséquent ϕ est
un isomorphisme.
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Démonstration. On sait, d’après le théorème (II.6.1), que K/H est un sous-groupe
normal de G/H et le groupe quotient (G/H)/(K/H) est bien défini. Considérons
les morphismes canoniques
π H : G → G/H, π K : G → G/K, π : G/H → (G/H)/(K/H).
Puisque π H (K) = K/H, d’après le théorème de passage au quotient, il existe un
unique morphisme ϕ : G/K → (G/H)/(K/H) tel que le diagramme suivant soit
commutatif :
G
π H
− −−− →
G/H
π K
⏐
⏐
⏐
⏐
π
G/K − −−− →
ϕ
(G/H)/(K/H)
Le morphisme π ◦ π H étant surjectif, il en est de même du morphisme ϕ.
D’autre part, on a
[ϕ(π K (x)) = 0] ⇔ [π H (x) ∈ K/H] ⇔ [x ∈ K],
d’où ϕ(π K (x)) = 0 équivaut à π K (x) = 0 et ϕ est injective. Par conséquent ϕ est
un isomorphisme.
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