II.6. Sous-groupes d’un groupe quotient
Montrons que l’égalité ci-dessus définit bien une application f , i.e. que f (π(x))
est indépendant du représentant x choisi dans G pour décrire sa classe dans G/H.
Si π(x) = π(y), on a xy −1 ∈ H, donc f (xy −1 ) = f (x)f (y) −1 ∈ f (H) ⊆ H . D’où
π (f (x)) = π (f (y)).
Montrons que f est un morphisme de groupes. On a
f (π(x)π(y)) = f (π(xy)) = π
(f (xy)) = π
(f (x)f (y))
= π
(f (x))π
(f (y)) = f (π(x))f (π(y)).
Remarque II.6.1. En particulier, si H ⊆ Ker(f ), il existe un unique morphisme
f ∈ Hom(G/H, G ) tel que f = f ◦ π. On dit que f factorise à travers π.
Théorème II.6.3. Soient G un groupe et H un sous-groupe normal de G. Pour tout
sous-groupe K de G, H ∩K est un sous-groupe normal de K, H est un sous-groupe
normal de HK, et les groupes quotients K/H ∩ K et HK/H sont isomorphes.
Démonstration. Si le sous-groupe H est normal dans G, alors il est normal dans
HK et H ∩ K est normal dans K, donc les groupes quotients K/(H ∩ K) et
HK/H existent. Considérons les morphismes canoniques
π : K → K/(H ∩ K), π
: HK → HK/H, i : K → HK.
Alors i(H ∩ K) = (H ∩ K) ⊆ H et, d’après le théorème (II.6.2), il existe un
unique morphisme i : K/(H ∩ K) → HK/H tel que le diagramme suivant soit
commutatif :
K
i
− −−− → HK
π
⏐
⏐
⏐
⏐
π
K/(H ∩ K) − −−− →
i
HK/H
On a vu au théorème (II.6.1.(ii)) que π (K) = HK/H, donc le morphisme
π ◦ i = i ◦ π est surjectif, il en est donc de même du morphisme i. D’autre part,
on a
[ i(π(x)) = 0] ⇔ [π
(i(x)) = 0] ⇔ [x ∈ H ∩ K]
d’où i(π(x)) = 0 équivaut à π(x) = 0 et i est injective. Par conséquent i est un
isomorphisme.
Théorème II.6.4. Soient G un groupe, H et K deux sous-groupes normaux de G
tels que H ⊆ K. Alors les groupes (G/H)/(K/H) et G/K sont isomorphes.
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