Chapitre II. Groupes quotients
Proposition II.6.1. Soient G un groupe et H un sous-groupe normal de G. Si K et
K sont deux sous-groupes de G contenant H, alors
K < K
=⇒ (K/H) < (K
/H).
Démonstration. On a K/H = π(K) < π(K ) = K /H.
Exercice II.7.
1. Soient f : G → G un morphisme de groupes et H un sous-groupe de G.
Montrer que f (N G (H)) ⊆ N G (f (H)). Que peut-on dire quand f est surjectif ?
2. Soient G un groupe, H un sous-groupe normal de G, π : G → G/H la projection canonique. Si K est un sous-groupe de G contenant H, comparer N G (K)
et N G/H (π(K)).
Théorème II.6.2 (de passage au quotient). Soient G et G deux groupes, H
(resp. H ) un sous-groupe normal de G (resp. G ), π : G → G/H (resp.
π : G → G /H ) la projection canonique. Pour tout f ∈ Hom(G, G ) tel que
f (H) ⊆ H , il existe un unique f ∈ Hom(G/H, G /H ) tel que f ◦ π = π ◦ f .
Convention. L’expression « le diagramme suivant
A
f
− −−− → B
g
⏐
⏐
⏐
⏐
g
C − −−− →
f
D
est commutatif » signifie que les applications f, f , g, g satisfont à la condition
g ◦ f = f ◦ g.
Démonstration du théorème (II.6.2). Considérons le diagramme suivant :
G
f
− −−− → G
π
⏐
⏐
⏐
⏐
π
G/H − −−− →
f
G /H
Si le morphisme f existe et fait commuter le diagramme, il doit vérifier
f (π(x)) = π (f (x)) et, tout élément de G/H s’écrivant π(x) pour x ∈ G, cette
égalité impose l’unicité de f .
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Proposition II.6.1. Soient G un groupe et H un sous-groupe normal de G. Si K et
K sont deux sous-groupes de G contenant H, alors
K < K
=⇒ (K/H) < (K
/H).
Démonstration. On a K/H = π(K) < π(K ) = K /H.
Exercice II.7.
1. Soient f : G → G un morphisme de groupes et H un sous-groupe de G.
Montrer que f (N G (H)) ⊆ N G (f (H)). Que peut-on dire quand f est surjectif ?
2. Soient G un groupe, H un sous-groupe normal de G, π : G → G/H la projection canonique. Si K est un sous-groupe de G contenant H, comparer N G (K)
et N G/H (π(K)).
Théorème II.6.2 (de passage au quotient). Soient G et G deux groupes, H
(resp. H ) un sous-groupe normal de G (resp. G ), π : G → G/H (resp.
π : G → G /H ) la projection canonique. Pour tout f ∈ Hom(G, G ) tel que
f (H) ⊆ H , il existe un unique f ∈ Hom(G/H, G /H ) tel que f ◦ π = π ◦ f .
Convention. L’expression « le diagramme suivant
A
f
− −−− → B
g
⏐
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⏐
g
C − −−− →
f
D
est commutatif » signifie que les applications f, f , g, g satisfont à la condition
g ◦ f = f ◦ g.
Démonstration du théorème (II.6.2). Considérons le diagramme suivant :
G
f
− −−− → G
π
⏐
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π
G/H − −−− →
f
G /H
Si le morphisme f existe et fait commuter le diagramme, il doit vérifier
f (π(x)) = π (f (x)) et, tout élément de G/H s’écrivant π(x) pour x ∈ G, cette
égalité impose l’unicité de f .
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