II.6. Sous-groupes d’un groupe quotient
Démonstration. Puisque H est un sous-groupe normal de G et que K ⊆ G, pour
tout k ∈ K on a kH = Hk, d’où KH = HK et HK est un sous-groupe de
G d’après la proposition (I.3.1). De plus, pour tout h ∈ H et tout g ∈ G, on a
ghg −1 ∈ H, donc a fortiori pour g ∈ HK, par conséquent H est un sous-groupe
normal de HK.
Théorème II.6.1. Soient G un groupe, H un sous-groupe normal de G,
π : G → G/H la projection canonique.
(i) Le morphisme π induit une correspondance biunivoque entre les sousgroupes (resp. sous-groupes normaux) de G contenant H et les sousgroupes (resp. sous-groupes normaux) de G/H.
(ii) Si K est un sous-groupe de G, alors HK est un sous-groupe de G contenant H et π(K) = HK/H.
Démonstration. (i). Soit K un sous-groupe de G/H et considérons K = π −1 (K)
l’image réciproque de K par π. Puisque l’application π est surjective, π(K) = K
et puisque π est un morphisme, d’après la proposition (I.2.7.(iv)), K est un
sous-groupe de G. Si K est un sous-groupe normal de G/H, d’après la proposition (II.5.1.(ii)) K est normal dans G. De plus K contient H qui est l’image
réciproque de l’élément neutre de G/H.
Inversement, soit K un sous-groupe de G contenant H. Alors H est normal
dans K et π(K) = K/H est un sous-groupe de G/H, qu’on notera K. D’après la
proposition (II.5.1.(i)), si K est normal dans G, K est un sous-groupe normal de
π(G) = G/H.
Les applications K → K et K → K sont des bijections réciproques
l’une de l’autre de l’ensemble des sous-groupes (resp. sous-groupes normaux) de
G contenant H sur l’ensemble des sous-groupes (resp. sous-groupes normaux)
de G/H.
(ii). Le sous-groupe H étant normal dans G, on a déjà vu que HK est un sousgroupe de G qui contient H comme sous-groupe normal. Donc π(HK) = HK/H.
D’autre part, il est clair que π(K) ⊂ π(HK) ; réciproquement, si y = π(hk),
(h ∈ H, k ∈ K) alors y = π(h)π(k) = π(k), donc π(HK) ⊂ π(K). Finalement,
π(K) = HK/H.
Exemple II.6.1. Les sous-groupes du groupe Z/nZ sont les groupes kZ/nZ avec
nZ ⊂ kZ, c’est-à-dire avec k divisant n dans N ∗ . Le nombre de sous-groupes de
Z/nZ est donc égal au nombre de diviseurs de n dans N ∗ .
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Démonstration. Puisque H est un sous-groupe normal de G et que K ⊆ G, pour
tout k ∈ K on a kH = Hk, d’où KH = HK et HK est un sous-groupe de
G d’après la proposition (I.3.1). De plus, pour tout h ∈ H et tout g ∈ G, on a
ghg −1 ∈ H, donc a fortiori pour g ∈ HK, par conséquent H est un sous-groupe
normal de HK.
Théorème II.6.1. Soient G un groupe, H un sous-groupe normal de G,
π : G → G/H la projection canonique.
(i) Le morphisme π induit une correspondance biunivoque entre les sousgroupes (resp. sous-groupes normaux) de G contenant H et les sousgroupes (resp. sous-groupes normaux) de G/H.
(ii) Si K est un sous-groupe de G, alors HK est un sous-groupe de G contenant H et π(K) = HK/H.
Démonstration. (i). Soit K un sous-groupe de G/H et considérons K = π −1 (K)
l’image réciproque de K par π. Puisque l’application π est surjective, π(K) = K
et puisque π est un morphisme, d’après la proposition (I.2.7.(iv)), K est un
sous-groupe de G. Si K est un sous-groupe normal de G/H, d’après la proposition (II.5.1.(ii)) K est normal dans G. De plus K contient H qui est l’image
réciproque de l’élément neutre de G/H.
Inversement, soit K un sous-groupe de G contenant H. Alors H est normal
dans K et π(K) = K/H est un sous-groupe de G/H, qu’on notera K. D’après la
proposition (II.5.1.(i)), si K est normal dans G, K est un sous-groupe normal de
π(G) = G/H.
Les applications K → K et K → K sont des bijections réciproques
l’une de l’autre de l’ensemble des sous-groupes (resp. sous-groupes normaux) de
G contenant H sur l’ensemble des sous-groupes (resp. sous-groupes normaux)
de G/H.
(ii). Le sous-groupe H étant normal dans G, on a déjà vu que HK est un sousgroupe de G qui contient H comme sous-groupe normal. Donc π(HK) = HK/H.
D’autre part, il est clair que π(K) ⊂ π(HK) ; réciproquement, si y = π(hk),
(h ∈ H, k ∈ K) alors y = π(h)π(k) = π(k), donc π(HK) ⊂ π(K). Finalement,
π(K) = HK/H.
Exemple II.6.1. Les sous-groupes du groupe Z/nZ sont les groupes kZ/nZ avec
nZ ⊂ kZ, c’est-à-dire avec k divisant n dans N ∗ . Le nombre de sous-groupes de
Z/nZ est donc égal au nombre de diviseurs de n dans N ∗ .
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