Chapitre II. Groupes quotients
Exercice II.5. Soit G un groupe :
a) Montrer que le centre Z(G) de G est un sous-groupe normal de G.
b) Montrer que le groupe G/Z(G) est isomorphe au groupe Int(G).
(On considérera l’homomorphisme G → Int(G) défini par g → ϕ g
(exemple I.2.5.b).) On en déduit que pour tout groupe G tel que Z(G) = {1}, on
a G Int(G).
c) Montrer que si le groupe G/Z(G) est cyclique, alors le groupe G est abélien.
Proposition II.5.1. Soient G et G deux groupes et f un élément de Hom(G, G ).
Alors
(i) H H G =⇒ f (H) f(G),
(ii) H G =⇒ f −1 (H ) G.
Démonstration. (i). Soient y ∈ f (H) et z ∈ f (G), alors il existe h ∈ H et g ∈ G
tels que f (h) = y et f (g) = z. On a zyz −1 = f (ghg −1 ) ∈ f (H) et f (H) est
normal dans f (G).
(ii). Soient h ∈ f −1 (H ) et g ∈ G. On a f (ghg −1 ) = f (g)f (h)f (g) −1 ∈ H ,
d’où ghg −1 ∈ f −1 (H ).
Attention. Sous les hypothèses de la proposition (II.5.1), on n’a pas f (H) normal dans G , sauf si, par exemple, f est surjectif.
Exercice II.6.
1. Soient G 1 et G 2 des groupes, H 1 et H 2 des sous-groupes normaux respectifs
de G 1 et G 2 . Montrer que les projections canoniques π i : G i → G i /H i , i = 1, 2,
induisent un isomorphisme de groupes (G 1 ×G 2 )/(H 1 ×H 2 ) (G 1 /H 1 )×(G 2 /H 2 ).
2. Montrer que si H et K sont deux sous-groupes conjugués d’un groupe G,
alors N G (H) et N G (K) sont des sous-groupes de G conjugués.
II.6. Sous-groupes d’un groupe quotient
Lemme II.6.1. Soient G un groupe, H et K deux sous-groupes de G. Si H est
normal dans G, alors HK est un sous-groupe de G et H est un sous-groupe
normal de HK.
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