II.5. Sous-groupes normaux et morphismes
Proposition II.4.2. Soient G un groupe et H un sous-groupe de G. Alors H est
un sous-groupe normal de N G (H), et H est un sous-groupe normal de G si et
seulement si N G (H) = G.
Proposition II.4.3. Soient G un groupe, S une partie de G, H un sous-groupe de
G. L’ensemble des classes de conjugaison de S sous H a pour cardinal l’indice de
N H (S) dans H.
Démonstration. Deux classes de conjugaison xSx −1 et ySy −1 sont égales si et
seulement si (xy −1 )S(xy −1 ) −1 = S, i.e. xy −1 ∈ N H (S). Autrement dit, deux
classes de conjugaison xSx −1 et ySy −1 sont égales si et seulement si les éléments x
et y sont dans la même classe modulo N H (S). On en déduit que le nombre de
classes de conjugaison de S distinctes est égal à [H : N H (S)].
Exercice II.4. Montrer que N G (H) est le plus grand sous-groupe de G dans lequel
H est normal.
II.5. Sous-groupes normaux et morphismes
Théorème II.5.1. Soient G et G deux groupes et f un élément de Hom(G, G ).
Alors f induit un isomorphisme f de G/Ker(f ) sur Im(f ).
Démonstration. Soit π : G → G/Ker(f ) la projection canonique. Tout élément
de G/Ker(f ) est la classe π(x) d’un élément x de G. Posons f (π(x)) = f (x) et
montrons que f est une application : si x est un autre représentant de la classe
π(x), on a xx −1 ∈ Ker(f ), d’où f (x ) = f (x) et f est bien définie. On vérifie
aisément que f est un morphisme de groupes. Par construction, f est surjective.
D’autre part, si f (π(x)) = f (π(y)), on a f (x) = f (y), i.e. xy −1 ∈ Ker(f ), d’où
π(x) = π(y), donc f est injective. D’où le résultat.
Remarque II.5.1. Le théorème ci-dessus peut être démontré à partir du théorème
de factorisation des applications. En effet, on sait que si E et E sont des ensembles
et f : E → E est une application, on définit sur E une relation d’équivalence R
par xRy si et seulement si f (x) = f (y). On considère E/R l’ensemble des classes
d’équivalence des éléments de E et l’application f définie comme ci-dessus est une
bijection de E/R sur Im(f ). Il suffit alors de vérifier que sous les hypothèses du
théorème (II.5.1), l’application f est un morphisme de groupes.
47
Proposition II.4.2. Soient G un groupe et H un sous-groupe de G. Alors H est
un sous-groupe normal de N G (H), et H est un sous-groupe normal de G si et
seulement si N G (H) = G.
Proposition II.4.3. Soient G un groupe, S une partie de G, H un sous-groupe de
G. L’ensemble des classes de conjugaison de S sous H a pour cardinal l’indice de
N H (S) dans H.
Démonstration. Deux classes de conjugaison xSx −1 et ySy −1 sont égales si et
seulement si (xy −1 )S(xy −1 ) −1 = S, i.e. xy −1 ∈ N H (S). Autrement dit, deux
classes de conjugaison xSx −1 et ySy −1 sont égales si et seulement si les éléments x
et y sont dans la même classe modulo N H (S). On en déduit que le nombre de
classes de conjugaison de S distinctes est égal à [H : N H (S)].
Exercice II.4. Montrer que N G (H) est le plus grand sous-groupe de G dans lequel
H est normal.
II.5. Sous-groupes normaux et morphismes
Théorème II.5.1. Soient G et G deux groupes et f un élément de Hom(G, G ).
Alors f induit un isomorphisme f de G/Ker(f ) sur Im(f ).
Démonstration. Soit π : G → G/Ker(f ) la projection canonique. Tout élément
de G/Ker(f ) est la classe π(x) d’un élément x de G. Posons f (π(x)) = f (x) et
montrons que f est une application : si x est un autre représentant de la classe
π(x), on a xx −1 ∈ Ker(f ), d’où f (x ) = f (x) et f est bien définie. On vérifie
aisément que f est un morphisme de groupes. Par construction, f est surjective.
D’autre part, si f (π(x)) = f (π(y)), on a f (x) = f (y), i.e. xy −1 ∈ Ker(f ), d’où
π(x) = π(y), donc f est injective. D’où le résultat.
Remarque II.5.1. Le théorème ci-dessus peut être démontré à partir du théorème
de factorisation des applications. En effet, on sait que si E et E sont des ensembles
et f : E → E est une application, on définit sur E une relation d’équivalence R
par xRy si et seulement si f (x) = f (y). On considère E/R l’ensemble des classes
d’équivalence des éléments de E et l’application f définie comme ci-dessus est une
bijection de E/R sur Im(f ). Il suffit alors de vérifier que sous les hypothèses du
théorème (II.5.1), l’application f est un morphisme de groupes.
47