Chapitre II. Groupes quotients
Remarques II.4.1.
a) Si S = {g}, où g est un élément de G, les éléments de sa classe de conjugaison sont appelés les conjugués de g dans G.
b) Une partie S est conjuguée d’une partie S si elle est l’image de S par
un automorphisme intérieur de G. Par conséquent, deux parties conjuguées sont
équipotentes.
c) Si H est un sous-groupe de G, toute partie de G conjuguée de H est un
sous-groupe de G, isomorphe à H.
Exercice II.3. Montrer que dans le groupe S n , pour tout k, 1 k n, les k-cycles
sont conjugués (cf. TR.I.A.3).
On sera amené à utiliser la notion plus générale suivante :
Définition II.4.2. Soient S et S deux parties d’un groupe G et H un sousgroupe de G. Alors S et S sont conjuguées sous H s’il existe un élément x
de H tel que S = xSx −1 .
Proposition - Définition II.4.1. Soient S une partie d’un groupe G et H un sousgroupe de G.
(i) L’ensemble N H (S) = {x ∈ H, xSx −1 = S} est un sous-groupe de H
(donc de G) appelé le normalisateur de S dans H.
(ii) L’ensemble Z H (S) = {x ∈ H | ∀s ∈ S, xsx −1 = s} est un sous-groupe
de H (donc de G) appelé le centralisateur de S dans H.
(iii) Z H (S) N H (S).
Démonstration. (i). Il est clair que 1 H ∈ N H (S). Soient x, y ∈ N H (S),
xSx −1 = ySy −1 = S, d’où xy −1 Syx −1 = S = (xy −1 )S(xy −1 ), donc
xy −1 ∈ N H (S).
(ii). Se démontre de la même façon.
(iii). Soient x ∈ Z H (S) et a ∈ N H (S), alors pour tout s ∈ S,
(axa −1 ) s (ax −1 a −1 ) = axs x −1 a −1 , avec s = a −1 sa. Puisque x ∈ Z H (S),
xs x −1 = s , d’où
(axa
−1 ) s (ax
−1 a
−1 ) = as
a
−1 = aa
−1 saa
−1 = s,
d’où le résultat.
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