II.4. Caractérisation des sous-groupes normaux
Exercice II.2.
1. Montrer que pour tout groupe G, Int(G) est un sous-groupe normal de
Aut(G).
2. Soient G un groupe et H un sous-groupe de G. Montrer que si [G : H] = 2,
alors H est un sous-groupe normal de G.
3. Montrer que tous les sous-groupes du groupe quaternionique H sont normaux dans H.
Remarque II.3.2. Si H et K sont deux sous-groupes d’un groupe G, avec H ⊆ K,
alors :
(H H G) implique (H H K).
Attention. En général,
(H H K) n’implique pas (H H G), (H H G) n’implique pas (K K G),
(H H K et K K G) n’implique pas (H H G).
Autrement dit la propriété pour un sous-groupe d’être normal n’est pas transitive.
Un exemple d’une telle situation est donné dans le TR.II.B.
II.4. Caractérisation des sous-groupes normaux
Il est clair qu’un sous-groupe H d’un groupe G n’est pas nécessairement normal dans G. Nous allons introduire un sous-groupe intermédiaire entre H et G,
appellé le normalisateur de H dans G, dans lequel H sera un sous-groupe normal
et qui permettra de déterminer si H est normal dans G.
Définition II.4.1. Soient G un groupe et P(G) l’ensemble de ses parties. On dit
que deux éléments S et S de P(G), (S = ∅), sont conjugués s’il existe un
élément x de G tel que S = xSx −1 = {xsx −1 , s ∈ S}.
En convenant que la partie vide est conjuguée d’elle-même, la relation de
conjugaison est une relation d’équivalence sur P(G). Pour une partie S = ∅ de G,
sa classe d’équivalence pour cette relation est l’ensemble {xSx −1 , x ∈ G}, qu’on
appelle classe de conjugaison de S.
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