Chapitre II. Groupes quotients
(i’) ∀x ∈ G, xH = Hx
(ii) ∀x ∈ G, xHx −1 ⊂ H
(ii’) ∀x ∈ G, xHx −1 = H
(iii) ∀h ∈ H, ∀x ∈ G, xhx −1 ∈ H
(iv) Il existe un groupe G et un morphisme de groupes f : G −→ G tel
que H = Ker(f ).
Démonstration. Le sous-groupe H est normal dans G si et seulement si les relations
H R et R H sont égales, donc si et seulement si les classes à gauche et les classes à
droite sont égales.
Les assertions (i) et (i’) ainsi que (ii) et (ii’) sont clairement équivalentes.
D’autre part, (i) implique (ii), qui est équivalente à (iii). Si xhx −1 ∈ H,
(x ∈ G, h ∈ H), alors il existe h ∈ H tel que xh = h x, donc xH ⊆ Hx et
(iii) implique (i).
Si H est un sous-groupe normal de G, H est le noyau du morphisme canonique
de projection π : G −→ G/H. Réciproquement, si f : G −→ G est un morphisme
de groupes, en posant H = Ker(f ), on a :
∀h ∈ H, ∀x ∈ G, f (xhx
−1 ) = f (x)f (h)f (x)
−1 = 1 G
d’où xhx −1 ∈ H et H est un sous-groupe normal de G.
Remarque II.3.1. Un sous-groupe H d’un groupe G est normal dans G s’il est stable
par les éléments de Int(G) (cf. exemple I.2.5.b).
Exemples II.3.2.
a) Il est clair que si G est un groupe abélien, tout sous-groupe H de G est
normal et G/H est un groupe abélien. En particulier, d’après l’exemple (II.2.1),
le groupe additif des entiers modulo n est le groupe quotient de Z par le sousgroupe nZ.
b) On a vu (exemple I.2.2) que S 3 est engendré par σ 1 et τ 3 . Considérons le
sous-groupe H = σ 1 = {e, σ 1 , σ 2
1 }. On vérifie que les classes à gauche et à droite
de S 3 modulo H sont égales, donc H H S 3 . De plus S 3 /H S 2 Z/2Z.
c) Le groupe spécial linéaire SL n (k), étant le noyau du morphisme déterminant
det : GL n (k) → k ∗ , est un sous-groupe normal de GL n (k).
d) On note A n le sous-groupe de S n formé des permutations de signature +1.
C’est le noyau du morphisme signature sgn : S n → Z/2Z, c’est donc un sousgroupe normal de S n .
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