II.3. Groupes quotients
Proposition II.3.2. Pour tout sous-groupe H d’un groupe G, la relation R H (resp.
H R) est compatible à droite (resp. à gauche) avec la loi de composition de G.
Réciproquement, si une relation R définie sur un groupe G est compatible à
droite (resp. à gauche) avec la loi de composition du groupe G, alors il existe un
unique sous-groupe H de G tel que R = R H (resp. R = H R).
Démonstration. Soient x, y, a des éléments de G tels que xR H y, i.e. xy −1 ∈ H.
Alors, (xa)(ya) −1 = xaa −1 y −1 appartient à H, i.e. xaR H ya. Une démonstration
analogue donne le résultat pour H R.
Soit R une relation d’équivalence définie sur G, compatible à droite avec la loi
de G. On note H la classe d’équivalence de l’élément neutre 1 G de G. Montrons
que H est un sous-groupe de G. Puisque 1 G ∈ H, H est non vide. Pour tous x et y
dans H, on a xR1 G et yR1 G . La compatibilité de R avec la loi de G implique que
xy −1 Ry −1 ; de plus, puisque yR1 G , on a yy −1 Ry −1 , d’où 1 G Ry −1 et y −1 R1 G . On
en déduit que xy −1 R1 G , i.e. xy −1 ∈ H, ce qui prouve que H est un sous-groupe
de G. Vérifions que R = R H . Si xRy alors, d’après la compatibilité, xy −1 R1 G ,
d’où xy −1 ∈ H et xR H y. Si xR H y, xy −1 ∈ H, donc xy −1 R1 G et, d’après la
compatibilité, xRy. L’unicité de H découle du fait que si R = R H , alors H est
la classe d’équivalence de 1 G .
La relation d’équivalence R est donc compatible avec la loi de G si et seulement
si il existe un sous-groupe H de G tel que R = H R = R H . Cela conduit à la
définition suivante.
Définition II.3.1. Un sous-groupe H d’un groupe G est dit normal (ou distingué) dans G si H R = R H . On note alors H H G.
Et nous avons démontré :
Théorème II.3.1. Si H est un sous-groupe normal d’un groupe G, la loi de composition interne induite sur l’ensemble G/H par celle de G munit G/H d’une
structure de groupe. La surjection canonique π : G → G/H qui, à un élément de
G associe sa classe modulo H, est un morphisme de groupes.
Exemple II.3.1. Pour tout n ∈ N ∗ , l’addition de Z induit une structure de groupe
sur Z/nZ, qui est celle définie dans l’exemple (I.1.2.b).
Proposition II.3.3. Un sous-groupe H d’un groupe G est normal dans G si et seulement s’il vérifie les conditions équivalentes suivantes :
(i) ∀x ∈ G, xH ⊂ Hx
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Proposition II.3.2. Pour tout sous-groupe H d’un groupe G, la relation R H (resp.
H R) est compatible à droite (resp. à gauche) avec la loi de composition de G.
Réciproquement, si une relation R définie sur un groupe G est compatible à
droite (resp. à gauche) avec la loi de composition du groupe G, alors il existe un
unique sous-groupe H de G tel que R = R H (resp. R = H R).
Démonstration. Soient x, y, a des éléments de G tels que xR H y, i.e. xy −1 ∈ H.
Alors, (xa)(ya) −1 = xaa −1 y −1 appartient à H, i.e. xaR H ya. Une démonstration
analogue donne le résultat pour H R.
Soit R une relation d’équivalence définie sur G, compatible à droite avec la loi
de G. On note H la classe d’équivalence de l’élément neutre 1 G de G. Montrons
que H est un sous-groupe de G. Puisque 1 G ∈ H, H est non vide. Pour tous x et y
dans H, on a xR1 G et yR1 G . La compatibilité de R avec la loi de G implique que
xy −1 Ry −1 ; de plus, puisque yR1 G , on a yy −1 Ry −1 , d’où 1 G Ry −1 et y −1 R1 G . On
en déduit que xy −1 R1 G , i.e. xy −1 ∈ H, ce qui prouve que H est un sous-groupe
de G. Vérifions que R = R H . Si xRy alors, d’après la compatibilité, xy −1 R1 G ,
d’où xy −1 ∈ H et xR H y. Si xR H y, xy −1 ∈ H, donc xy −1 R1 G et, d’après la
compatibilité, xRy. L’unicité de H découle du fait que si R = R H , alors H est
la classe d’équivalence de 1 G .
La relation d’équivalence R est donc compatible avec la loi de G si et seulement
si il existe un sous-groupe H de G tel que R = H R = R H . Cela conduit à la
définition suivante.
Définition II.3.1. Un sous-groupe H d’un groupe G est dit normal (ou distingué) dans G si H R = R H . On note alors H H G.
Et nous avons démontré :
Théorème II.3.1. Si H est un sous-groupe normal d’un groupe G, la loi de composition interne induite sur l’ensemble G/H par celle de G munit G/H d’une
structure de groupe. La surjection canonique π : G → G/H qui, à un élément de
G associe sa classe modulo H, est un morphisme de groupes.
Exemple II.3.1. Pour tout n ∈ N ∗ , l’addition de Z induit une structure de groupe
sur Z/nZ, qui est celle définie dans l’exemple (I.1.2.b).
Proposition II.3.3. Un sous-groupe H d’un groupe G est normal dans G si et seulement s’il vérifie les conditions équivalentes suivantes :
(i) ∀x ∈ G, xH ⊂ Hx
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