Chapitre II. Groupes quotients
Proposition II.2.2. Soient G un ensemble muni d’une loi de composition interne, R
une relation d’équivalence définie sur G et G/R l’ensemble quotient de G par la
relation d’équivalence R. Alors la loi interne de G induit une loi interne sur G/R,
(x, y) → xy (où pour z ∈ G, z désigne la classe d’équivalence de z) si et seulement
si R est compatible avec la loi de G.
Démonstration. La correspondance (x, y) → xy définit une loi interne sur G/R si
et seulement si elle définit une application G/R × G/R → G/R, autrement dit,
si et seulement si
(x = x 1 , y = y 1 ) =⇒ (xy = x 1 y 1 ),
d’où le résultat d’après la proposition (II.2.1).
Remarque II.2.1. Si la relation R est compatible avec la loi de G, la loi induite
sur G/R par celle de G est définie par x y = xy. Il est clair que si la loi de G
est associative (resp. commutative, resp. admet un élément neutre e, resp. tout
élément x admet un élément symétrique x −1 ), il en est de même pour la loi induite
sur G/R, e est l’élément neutre, l’élément symétrique de x est x −1 .
Exemple II.2.1. Pour tout entier n, la relation d’équivalence définie par la
congruence modulo n dans Z est compatible avec l’addition et la multiplication
des entiers. Ces deux lois induisent donc des lois de compositions internes sur l’ensemble des entiers modulo n, qui sont associatives, commutatives, qui possèdent
un élément neutre ; de plus tout élément admet un symétrique pour la loi induite
par l’addition.
II.3. Groupes quotients
On va maintenant étudier la situation où G est un groupe.
Proposition II.3.1. Soient G un groupe et R une relation d’équivalence définie
sur G, compatible avec la loi de G. Alors l’ensemble quotient G/R, muni de la loi
induite par la loi de G (définie par (x, y) → xy), est un groupe.
Démonstration. C’est une conséquence directe de la proposition II.2.2, qui assure
que la loi sur le quotient est bien définie, et de la remarque II.2.1.
Une autre façon de dire les choses est la suivante : notant π : G −→ G/R
l’application de passage au quotient, la loi sur le quotient G/R est définie par
π(x)π(y) = π(xy). On applique alors la remarque (I.2.5.e)
On est donc amené à déterminer les relations d’équivalences compatibles avec
la loi de G.
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Proposition II.2.2. Soient G un ensemble muni d’une loi de composition interne, R
une relation d’équivalence définie sur G et G/R l’ensemble quotient de G par la
relation d’équivalence R. Alors la loi interne de G induit une loi interne sur G/R,
(x, y) → xy (où pour z ∈ G, z désigne la classe d’équivalence de z) si et seulement
si R est compatible avec la loi de G.
Démonstration. La correspondance (x, y) → xy définit une loi interne sur G/R si
et seulement si elle définit une application G/R × G/R → G/R, autrement dit,
si et seulement si
(x = x 1 , y = y 1 ) =⇒ (xy = x 1 y 1 ),
d’où le résultat d’après la proposition (II.2.1).
Remarque II.2.1. Si la relation R est compatible avec la loi de G, la loi induite
sur G/R par celle de G est définie par x y = xy. Il est clair que si la loi de G
est associative (resp. commutative, resp. admet un élément neutre e, resp. tout
élément x admet un élément symétrique x −1 ), il en est de même pour la loi induite
sur G/R, e est l’élément neutre, l’élément symétrique de x est x −1 .
Exemple II.2.1. Pour tout entier n, la relation d’équivalence définie par la
congruence modulo n dans Z est compatible avec l’addition et la multiplication
des entiers. Ces deux lois induisent donc des lois de compositions internes sur l’ensemble des entiers modulo n, qui sont associatives, commutatives, qui possèdent
un élément neutre ; de plus tout élément admet un symétrique pour la loi induite
par l’addition.
II.3. Groupes quotients
On va maintenant étudier la situation où G est un groupe.
Proposition II.3.1. Soient G un groupe et R une relation d’équivalence définie
sur G, compatible avec la loi de G. Alors l’ensemble quotient G/R, muni de la loi
induite par la loi de G (définie par (x, y) → xy), est un groupe.
Démonstration. C’est une conséquence directe de la proposition II.2.2, qui assure
que la loi sur le quotient est bien définie, et de la remarque II.2.1.
Une autre façon de dire les choses est la suivante : notant π : G −→ G/R
l’application de passage au quotient, la loi sur le quotient G/R est définie par
π(x)π(y) = π(xy). On applique alors la remarque (I.2.5.e)
On est donc amené à déterminer les relations d’équivalences compatibles avec
la loi de G.
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