II.2. Compatibilité avec la structure
Démonstration. Supposons que Hy j x i = Hy j x i , alors KHy j x i = KHy j x i .
Mais, puisque H ⊆ K, on a KH = K et KHy j = Ky j = K, car y j ∈ K.
De la même manière, KHy j = K. On en déduit que Hy j x i = Hy j x i implique
Kx i = Kx i et, puisque les Kx i forment une partition de G, que i = i. Par
conséquent Hy j = Hy j et, pour une raison analogue, j = j. D’où le lemme.
Ceci prouve que [G : H] = card(I × J) = card(I) × card(J) = [G : K][K : H].
Comme [G : H] est fini, cette égalité implique que [G : K] est fini.
Remarque II.1.3. La démonstration ci-dessus montre que la formule de l’indice
est vraie de façon plus générale dès que deux quelconques des trois termes qui
apparaissent dans la formule sont finis, le troisième étant alors nécessairement
fini.
Exercice II.1. Soient H et K deux sous-groupes finis d’un groupe G. Montrer que
card(HK) = card(KH) =
|H||K|
|H ∩ K|
·
II.2. Compatibilité avec la structure
Définition II.2.1. Soit E un ensemble muni d’une loi de composition interne
(notée multiplicativement) sur lequel est définie une relation d’équivalence R.
(i) R est compatible à droite (resp. à gauche) avec la loi si, quels
que soient x, y, a dans E, on a (xRy) =⇒ (xaRya) (resp. (xRy) =⇒
(axRay)).
(ii) R est compatible avec la loi si elle est compatible à droite et à
gauche.
Proposition II.2.1. Avec les mêmes notations que ci-dessus, R est compatible avec
la loi si et seulement si
∀ x, x
, y, y
∈ E, [(xRx
) et (yRy
)] =⇒ [xyRx
y
].
Démonstration. Supposons que R soit compatible avec la loi : alors si xRx et
yRy , on a xyRx y et x yRx y , d’où xyRx y par transitivité.
Réciproquement, l’assertion de l’énoncé étant vraie pour tout x, x , y, y , c’est
en particulier vrai pour y = y , d’où si xRx alors xyRx y et la relation est
compatible à droite avec la loi. De même, en considérant x = x , on montre
qu’elle est compatible à gauche.
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Démonstration. Supposons que Hy j x i = Hy j x i , alors KHy j x i = KHy j x i .
Mais, puisque H ⊆ K, on a KH = K et KHy j = Ky j = K, car y j ∈ K.
De la même manière, KHy j = K. On en déduit que Hy j x i = Hy j x i implique
Kx i = Kx i et, puisque les Kx i forment une partition de G, que i = i. Par
conséquent Hy j = Hy j et, pour une raison analogue, j = j. D’où le lemme.
Ceci prouve que [G : H] = card(I × J) = card(I) × card(J) = [G : K][K : H].
Comme [G : H] est fini, cette égalité implique que [G : K] est fini.
Remarque II.1.3. La démonstration ci-dessus montre que la formule de l’indice
est vraie de façon plus générale dès que deux quelconques des trois termes qui
apparaissent dans la formule sont finis, le troisième étant alors nécessairement
fini.
Exercice II.1. Soient H et K deux sous-groupes finis d’un groupe G. Montrer que
card(HK) = card(KH) =
|H||K|
|H ∩ K|
·
II.2. Compatibilité avec la structure
Définition II.2.1. Soit E un ensemble muni d’une loi de composition interne
(notée multiplicativement) sur lequel est définie une relation d’équivalence R.
(i) R est compatible à droite (resp. à gauche) avec la loi si, quels
que soient x, y, a dans E, on a (xRy) =⇒ (xaRya) (resp. (xRy) =⇒
(axRay)).
(ii) R est compatible avec la loi si elle est compatible à droite et à
gauche.
Proposition II.2.1. Avec les mêmes notations que ci-dessus, R est compatible avec
la loi si et seulement si
∀ x, x
, y, y
∈ E, [(xRx
) et (yRy
)] =⇒ [xyRx
y
].
Démonstration. Supposons que R soit compatible avec la loi : alors si xRx et
yRy , on a xyRx y et x yRx y , d’où xyRx y par transitivité.
Réciproquement, l’assertion de l’énoncé étant vraie pour tout x, x , y, y , c’est
en particulier vrai pour y = y , d’où si xRx alors xyRx y et la relation est
compatible à droite avec la loi. De même, en considérant x = x , on montre
qu’elle est compatible à gauche.
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