Chapitre II. Groupes quotients
Remarque II.1.2. Ce théorème est souvent énoncé de la façon suivante : dans un
groupe fini, l’ordre de tout sous-groupe divise l’ordre du groupe.
Corollaire II.1.1. Pour tout groupe fini, l’ordre de tout élément divise l’ordre du
groupe.
Démonstration. Pour tout x de G, l’ordre de x est l’ordre du sous-groupe x de G.
On applique alors le théorème de Lagrange avec H = x.
Proposition II.1.3. Dans un groupe, l’intersection d’un nombre fini de sous-groupes
d’indice fini est un sous-groupe d’indice fini.
Démonstration. Soient G un groupe et H i , i = 1, . . . , n, une famille de sous-groupes
de G qui sont tous d’indice fini dans G. Supposons que n = 2. Il est clair que
pour tout x de G, on a (H 1 ∩ H 2 )x ⊆ (H 1 x ∩ H 2 x). D’autre part, pour tout y
dans (H 1 x ∩ H 2 x), on a yx −1 ∈ H 1 et yx −1 ∈ H 2 , i.e. yx −1 ∈ H 1 ∩ H 2 , d’où
(H 1 ∩ H 2 ) x = H 1 x ∩ H 2 x. On en déduit que [G : (H 1 ∩ H 2 )] [G : H 1 ][G : H 2 ].
Si le résultat est vrai pour les (n − 1) sous-groupes H 1 , . . . , H n−1 , on applique
le raisonnement ci-dessus aux sous-groupes (∩
n−1
i=1 H i ) et H n .
Attention. L’énoncé ci-dessus n’est plus vrai, en général, pour un nombre infini
de sous-groupes d’indice fini (considérer les sous-groupes de Z ou, plus généralement, cf. TR.III.C).
Théorème II.1.2 (formule de l’indice). Si H est un sous-groupe d’indice fini d’un
groupe G et si K est un sous-groupe de G contenant H (H ⊆ K ⊆ G), alors K
est d’indice fini dans G et
[G : H] = [G : K][K : H].
Démonstration. Soit {x i } i∈I une famille de représentants des classes à droites distinctes des éléments de G modulo K. Les Kx i , i ∈ I, forment une partition de
G et card(I) = [G : K]. Soit {y j } j∈J une famille de représentants des classes à
droites distinctes des éléments de K modulo H. Les Hy j , j ∈ J, forment une
partition de K, et card(J) = [K : H]. Pour tout g dans G, il existe un unique
i ∈ I tel que g ∈ Kx i et il existe un unique k ∈ K tel que g = kx i . D’autre part, il
existe un unique j ∈ J tel que k ∈ Hy j , d’où g appartient à Hy j x i . On en déduit
que G =
(i,j)∈I×J (Hy j x i ).
Lemme II.1.1. Les ensembles Hy j x i , (i, j) ∈ I × J, forment une partition de G.
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Remarque II.1.2. Ce théorème est souvent énoncé de la façon suivante : dans un
groupe fini, l’ordre de tout sous-groupe divise l’ordre du groupe.
Corollaire II.1.1. Pour tout groupe fini, l’ordre de tout élément divise l’ordre du
groupe.
Démonstration. Pour tout x de G, l’ordre de x est l’ordre du sous-groupe x de G.
On applique alors le théorème de Lagrange avec H = x.
Proposition II.1.3. Dans un groupe, l’intersection d’un nombre fini de sous-groupes
d’indice fini est un sous-groupe d’indice fini.
Démonstration. Soient G un groupe et H i , i = 1, . . . , n, une famille de sous-groupes
de G qui sont tous d’indice fini dans G. Supposons que n = 2. Il est clair que
pour tout x de G, on a (H 1 ∩ H 2 )x ⊆ (H 1 x ∩ H 2 x). D’autre part, pour tout y
dans (H 1 x ∩ H 2 x), on a yx −1 ∈ H 1 et yx −1 ∈ H 2 , i.e. yx −1 ∈ H 1 ∩ H 2 , d’où
(H 1 ∩ H 2 ) x = H 1 x ∩ H 2 x. On en déduit que [G : (H 1 ∩ H 2 )] [G : H 1 ][G : H 2 ].
Si le résultat est vrai pour les (n − 1) sous-groupes H 1 , . . . , H n−1 , on applique
le raisonnement ci-dessus aux sous-groupes (∩
n−1
i=1 H i ) et H n .
Attention. L’énoncé ci-dessus n’est plus vrai, en général, pour un nombre infini
de sous-groupes d’indice fini (considérer les sous-groupes de Z ou, plus généralement, cf. TR.III.C).
Théorème II.1.2 (formule de l’indice). Si H est un sous-groupe d’indice fini d’un
groupe G et si K est un sous-groupe de G contenant H (H ⊆ K ⊆ G), alors K
est d’indice fini dans G et
[G : H] = [G : K][K : H].
Démonstration. Soit {x i } i∈I une famille de représentants des classes à droites distinctes des éléments de G modulo K. Les Kx i , i ∈ I, forment une partition de
G et card(I) = [G : K]. Soit {y j } j∈J une famille de représentants des classes à
droites distinctes des éléments de K modulo H. Les Hy j , j ∈ J, forment une
partition de K, et card(J) = [K : H]. Pour tout g dans G, il existe un unique
i ∈ I tel que g ∈ Kx i et il existe un unique k ∈ K tel que g = kx i . D’autre part, il
existe un unique j ∈ J tel que k ∈ Hy j , d’où g appartient à Hy j x i . On en déduit
que G =
(i,j)∈I×J (Hy j x i ).
Lemme II.1.1. Les ensembles Hy j x i , (i, j) ∈ I × J, forment une partition de G.
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