II.1. Classes modulo un sous-groupe
Exemple II.1.1. On considère un élément n de Z et on pose H = nZ, sous-groupe
de Z. La relation d’équivalence (resp. les classes) modulo H coïncide(nt) avec la
relation (resp. les classes) de congruence modulo n.
Notation. On note (G/H) g (resp. (G/H) d ) l’ensemble des classes d’équivalence
des éléments de G pour la relation à gauche (resp. à droite) modulo H. Ces
ensembles sont aussi appelés ensembles quotients à gauche (resp. à droite)
modulo H.
Proposition II.1.2. Soient G un groupe et H un sous-groupe de G.
(i) Toute classe à gauche xH (resp. à droite Hx) est équipotente à H.
(ii) Les ensembles (G/H) g et (G/H) d sont équipotents.
Démonstration. (i). Pour tout élément x de G, l’application H −→ xH qui à h
associe xh, est évidemment bijective.
(ii). Pour tout xH de (G/H) g , posons ϕ(xH) = Hx −1 , qui est un élément de
(G/H) d . Montrons que ϕ est une application. En effet, xH = yH est équivalent
à x −1 y ∈ H, d’où x −1 ∈ Hy −1 , et Hx −1 = Hy −1 , c’est-à-dire ϕ(xH) = ϕ(yH).
D’autre part, Hx −1 = Hy −1 est équivalent à x −1 y ∈ H, autrement dit, xH = yH.
Ceci signifie que ϕ(xH) = ϕ(yH) implique xH = yH et donc que ϕ est injective.
De plus, pour tout Hx dans (G/H) d , on a Hx = ϕ(x −1 H), par conséquent ϕ est
surjective. Il existe donc une application bijective de (G/H) g sur (G/H) d , ce qui
prouve que ces deux ensembles sont équipotents.
Définition II.1.2. Soient G un groupe et H un sous-groupe de G. On appelle
indice de H dans G, qu’on note [G : H], le cardinal de l’ensemble (G/H) g
(ou (G/H) d ).
Théorème II.1.1 (de Lagrange). Si G est un groupe fini, pour tout sous-groupe H
de G on a
|G| = |H|[G : H].
Démonstration. Puisque les xH, x ∈ G, sont les classes d’équivalences pour la
relation d’équivalence R, elles forment une partition de G. De plus, d’après la
proposition précédente, chacune de ces classes est équipotente à H. On en déduit
que le cardinal de G est égal au cardinal de H, multiplié par le nombre de classes,
qui est précisément le cardinal de l’ensemble quotient (G/H) g . D’où la formule
|G| = |H|[G : H].
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Exemple II.1.1. On considère un élément n de Z et on pose H = nZ, sous-groupe
de Z. La relation d’équivalence (resp. les classes) modulo H coïncide(nt) avec la
relation (resp. les classes) de congruence modulo n.
Notation. On note (G/H) g (resp. (G/H) d ) l’ensemble des classes d’équivalence
des éléments de G pour la relation à gauche (resp. à droite) modulo H. Ces
ensembles sont aussi appelés ensembles quotients à gauche (resp. à droite)
modulo H.
Proposition II.1.2. Soient G un groupe et H un sous-groupe de G.
(i) Toute classe à gauche xH (resp. à droite Hx) est équipotente à H.
(ii) Les ensembles (G/H) g et (G/H) d sont équipotents.
Démonstration. (i). Pour tout élément x de G, l’application H −→ xH qui à h
associe xh, est évidemment bijective.
(ii). Pour tout xH de (G/H) g , posons ϕ(xH) = Hx −1 , qui est un élément de
(G/H) d . Montrons que ϕ est une application. En effet, xH = yH est équivalent
à x −1 y ∈ H, d’où x −1 ∈ Hy −1 , et Hx −1 = Hy −1 , c’est-à-dire ϕ(xH) = ϕ(yH).
D’autre part, Hx −1 = Hy −1 est équivalent à x −1 y ∈ H, autrement dit, xH = yH.
Ceci signifie que ϕ(xH) = ϕ(yH) implique xH = yH et donc que ϕ est injective.
De plus, pour tout Hx dans (G/H) d , on a Hx = ϕ(x −1 H), par conséquent ϕ est
surjective. Il existe donc une application bijective de (G/H) g sur (G/H) d , ce qui
prouve que ces deux ensembles sont équipotents.
Définition II.1.2. Soient G un groupe et H un sous-groupe de G. On appelle
indice de H dans G, qu’on note [G : H], le cardinal de l’ensemble (G/H) g
(ou (G/H) d ).
Théorème II.1.1 (de Lagrange). Si G est un groupe fini, pour tout sous-groupe H
de G on a
|G| = |H|[G : H].
Démonstration. Puisque les xH, x ∈ G, sont les classes d’équivalences pour la
relation d’équivalence R, elles forment une partition de G. De plus, d’après la
proposition précédente, chacune de ces classes est équipotente à H. On en déduit
que le cardinal de G est égal au cardinal de H, multiplié par le nombre de classes,
qui est précisément le cardinal de l’ensemble quotient (G/H) g . D’où la formule
|G| = |H|[G : H].
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