Chapitre II. Groupes quotients
Proposition II.1.1.
(i) La relation R est une relation d’équivalence.
(ii) Soit x un élément de G, sa classe d’équivalence pour la relation R est
l’ensemble xH = {xh, h ∈ H}.
Démonstration. (i). Pour tout x de G, on a x −1 x = 1 G ∈ H, d’où xRx et la relation
R est réflexive. Pour tout x et tout y dans G, on a (x −1 y) −1 = y −1 x, d’où si xRy
alors yRx et la relation R est symétrique. Si xRy et yRz, alors x −1 y ∈ H et
y −1 z ∈ H, d’où x −1 yy −1 z = x −1 z ∈ H et xRz, la relation R est donc transitive.
(ii). Si xRy il existe h ∈ H tel que x −1 y = h, i.e. y = xh.
Définition II.1.1. La relation R est appelée relation d’équivalence à gauche
modulo H, et xH la classe à gauche de x modulo H.
Remarques II.1.1.
a) On définit une relation d’équivalence à droite modulo H par
(xRy) ⇐⇒ (xy
−1
∈ H)
et la classe à droite de x modulo H est l’ensemble Hx = {hx, h ∈ H}.
Lorsque nous aurons à considérer les relations à gauche et à droite modulo H,
nous noterons ces deux relations respectivement H R et R H .
b) Quel que soit h dans H, on a Hh = H = hH et H est la classe à droite et
à gauche de l’élément neutre de G modulo H.
c) Si le groupe G est abélien, en notant sa loi additivement, les relations
d’équivalences définies ci-dessus s’écrivent
(xRy) ⇔ ((x − y) ∈ H),
et les relations d’équivalences (resp. les classes) à gauche et à droite modulo H
coïncident.
Si le groupe G n’est pas abélien, ce n’est plus le cas, en général. On considère dans S 3 le sous-groupe H = τ avec τ =
1 2 3
2 1 3
. En remarquant que
S 3 = {e, τ, σ, σ 2 , τ ◦ σ, σ ◦ τ } avec σ =
1 2 3
2 3 1
, les classes à gauche et à droite
modulo H sont respectivement :
σH = {σ, σ ◦ τ }
Hσ = {σ, τ ◦ σ}
σ 2 H = {σ 2 , σ 2 ◦ τ = τ ◦ σ} Hσ 2 = {σ 2 , τ ◦ σ 2 = σ ◦ τ }
qui sont deux à deux distinctes puisque τ ◦ σ = σ ◦ τ .
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