II
GROUPES QUOTIENTS
On a vu au chapitre I que, pour tout n de Z, nZ est un sous-groupe de Z
et la loi interne de Z, c’est-à-dire l’addition, induit une loi interne sur Z/nZ qui
munit cet ensemble d’une structure de groupe. De plus, la projection canonique
π : Z → Z/nZ est un morphisme de groupes.
L’objectif de ce chapitre est de formaliser cette situation pour un groupe quelconque. Autrement dit, étant donné un groupe G et un sous-groupe H, à quelles
conditions peut-on définir un ensemble quotient G/H et une application canonique π : G → G/H, de telle sorte que la loi de G induise sur G/H une loi interne
le munissant d’une structure de groupe et que π soit un morphisme de groupes ?
On va montrer qu’à tout sous-groupe H d’un groupe G est associée une relation
d’équivalence R définie sur G. Si cette relation d’équivalence satisfait certaines
conditions de compatibilité, la loi interne de G induit une loi interne sur l’ensemble
des classes d’équivalence G/R qui munit cet ensemble d’une structure de groupe
et la projection canonique π : G → G/R est un morphisme de groupes. On
montrera qu’inversement, à toute relation d’équivalence R définie sur un groupe
G et satisfaisant les conditions de compatibilité, est associé un sous-groupe H de
G tel que la relation R soit la relation associée au sous-groupe H. Ceci conduit à
la notion de sous-groupe normal.
II.1. Classes modulo un sous-groupe
On considère un groupe G, H un sous-groupe de G, et on définit sur G la
relation
(xRy) ⇐⇒ (x
−1 y ∈ H).
GROUPES QUOTIENTS
On a vu au chapitre I que, pour tout n de Z, nZ est un sous-groupe de Z
et la loi interne de Z, c’est-à-dire l’addition, induit une loi interne sur Z/nZ qui
munit cet ensemble d’une structure de groupe. De plus, la projection canonique
π : Z → Z/nZ est un morphisme de groupes.
L’objectif de ce chapitre est de formaliser cette situation pour un groupe quelconque. Autrement dit, étant donné un groupe G et un sous-groupe H, à quelles
conditions peut-on définir un ensemble quotient G/H et une application canonique π : G → G/H, de telle sorte que la loi de G induise sur G/H une loi interne
le munissant d’une structure de groupe et que π soit un morphisme de groupes ?
On va montrer qu’à tout sous-groupe H d’un groupe G est associée une relation
d’équivalence R définie sur G. Si cette relation d’équivalence satisfait certaines
conditions de compatibilité, la loi interne de G induit une loi interne sur l’ensemble
des classes d’équivalence G/R qui munit cet ensemble d’une structure de groupe
et la projection canonique π : G → G/R est un morphisme de groupes. On
montrera qu’inversement, à toute relation d’équivalence R définie sur un groupe
G et satisfaisant les conditions de compatibilité, est associé un sous-groupe H de
G tel que la relation R soit la relation associée au sous-groupe H. Ceci conduit à
la notion de sous-groupe normal.
II.1. Classes modulo un sous-groupe
On considère un groupe G, H un sous-groupe de G, et on définit sur G la
relation
(xRy) ⇐⇒ (x
−1 y ∈ H).