Algèbre T1
l’ordre d’une permutation lorsque l’on connaît son type ? Écrire une procédure
ord calculant l’ordre d’une permutation. Donner la liste des ordres des éléments
de S 4 et vérifier que ces nombres divisent tous le cardinal de S 4 . Dénombrer à la
main les éléments d’ordre 4 et comparer.
Étude du premier groupe : avec les notations de l’exemple I.1.2.c, on rappelle
que le groupe des isométries du carré est D 4 = {I, R 1 , R 2 , R 3 , H, V, Δ 1 , Δ 2 }.
8. Une isométrie du carré permutant les sommets du carré, justifier que D 4 s’identifie, quitte à numéroter les sommets, à un sous-groupe de S 4 (précisément, on
montrera que la restriction aux sommets définit un morphisme injectif de groupes
de D 4 dans S 4 ; on identifie alors D 4 à son image). Décrire, en tant que permutations, les éléments de D 4 . Enfin, définir D 4 avec la commande permgroup et
donner la liste des éléments avec la commande elements. En déduire qu’il s’agit
effectivement d’un sous-groupe de S 4 de cardinal 8.
9. Vérifier que D 4 = R 1 , H = R 1 , V = R 1 , Δ 1 = R 1 , Δ 2 et que, dans
chacun de ces cas, D 4 = a, b, où a est d’ordre 4, b d’ordre 2 et ba = a 3 b.
Démontrer que ces relations déterminent complètement le groupe (i.e. la liste
de ses éléments et sa table de multiplication). Existe-t-il d’autres systèmes de
générateurs à deux éléments ? Sont-ils tous de la forme précédente ?
Étude du second groupe : le groupe quaternionique H est le sous-groupe de
GL 2 (C) constitué des matrices
±
1 0
0 1
, ±
0 1
−1 0
, ±
0 i
i 0
, ±
i 0
0 −i
.
On pose, pour g et g dans H, σ g (g ) = gg . D’après le théorème de Cayley,
l’application g → σ g permet de voir H comme un sous-groupe de S 8 .
10. Définir H sous Maple comme un groupe de permutations en utilisant la
remarque précédente (on pourra effectuer le calcul matriciel avec Maple en chargeant au préalable la libraire LinearAlgebra). Vérifier par Maple qu’il s’agit
bien d’un sous-groupe de S 8 d’ordre 8. Enfin, démontrer que H est engendré par
deux générateurs a et b soumis aux relations a 4 = b 4 = 1, a 2 = b 2 et ba = ab 3 .
11. Que dire du sous-groupe de S 8 engendré par les permutations (1234)(5678)
et (1537)(2846) ?
12. Est-il possible de voir H comme un sous-groupe de S n avec n < 8 ? On écrira
une procédure test:=proc(a,b) testant si deux éléments d’ordre 4 engendrent
un groupe isomorphe à H et l’on recherchera avec Maple les éléments d’ordre 4
de S 7 (combien en dénombre-t-on à la main ?).
Remarque. Se reporter à l’exercice I.5 pour une méthode utilisant uniquement le
papier-crayon.
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l’ordre d’une permutation lorsque l’on connaît son type ? Écrire une procédure
ord calculant l’ordre d’une permutation. Donner la liste des ordres des éléments
de S 4 et vérifier que ces nombres divisent tous le cardinal de S 4 . Dénombrer à la
main les éléments d’ordre 4 et comparer.
Étude du premier groupe : avec les notations de l’exemple I.1.2.c, on rappelle
que le groupe des isométries du carré est D 4 = {I, R 1 , R 2 , R 3 , H, V, Δ 1 , Δ 2 }.
8. Une isométrie du carré permutant les sommets du carré, justifier que D 4 s’identifie, quitte à numéroter les sommets, à un sous-groupe de S 4 (précisément, on
montrera que la restriction aux sommets définit un morphisme injectif de groupes
de D 4 dans S 4 ; on identifie alors D 4 à son image). Décrire, en tant que permutations, les éléments de D 4 . Enfin, définir D 4 avec la commande permgroup et
donner la liste des éléments avec la commande elements. En déduire qu’il s’agit
effectivement d’un sous-groupe de S 4 de cardinal 8.
9. Vérifier que D 4 = R 1 , H = R 1 , V = R 1 , Δ 1 = R 1 , Δ 2 et que, dans
chacun de ces cas, D 4 = a, b, où a est d’ordre 4, b d’ordre 2 et ba = a 3 b.
Démontrer que ces relations déterminent complètement le groupe (i.e. la liste
de ses éléments et sa table de multiplication). Existe-t-il d’autres systèmes de
générateurs à deux éléments ? Sont-ils tous de la forme précédente ?
Étude du second groupe : le groupe quaternionique H est le sous-groupe de
GL 2 (C) constitué des matrices
±
1 0
0 1
, ±
0 1
−1 0
, ±
0 i
i 0
, ±
i 0
0 −i
.
On pose, pour g et g dans H, σ g (g ) = gg . D’après le théorème de Cayley,
l’application g → σ g permet de voir H comme un sous-groupe de S 8 .
10. Définir H sous Maple comme un groupe de permutations en utilisant la
remarque précédente (on pourra effectuer le calcul matriciel avec Maple en chargeant au préalable la libraire LinearAlgebra). Vérifier par Maple qu’il s’agit
bien d’un sous-groupe de S 8 d’ordre 8. Enfin, démontrer que H est engendré par
deux générateurs a et b soumis aux relations a 4 = b 4 = 1, a 2 = b 2 et ba = ab 3 .
11. Que dire du sous-groupe de S 8 engendré par les permutations (1234)(5678)
et (1537)(2846) ?
12. Est-il possible de voir H comme un sous-groupe de S n avec n < 8 ? On écrira
une procédure test:=proc(a,b) testant si deux éléments d’ordre 4 engendrent
un groupe isomorphe à H et l’on recherchera avec Maple les éléments d’ordre 4
de S 7 (combien en dénombre-t-on à la main ?).
Remarque. Se reporter à l’exercice I.5 pour une méthode utilisant uniquement le
papier-crayon.
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