Algèbre T1
14. Montrer que pour tout nombre premier p et tout entier positif s, on a
ϕ(p s ) = p s−1 (p − 1).
En déduire que si n = p
s 1
1 . . . p
s k
k est la décomposition de n en facteurs premiers,
on a
ϕ(n) = n
k
i=1
1 −
1
p i
.
♣ TR.I.C. Détermination des groupes d’ordre n,
pour 1 n 9
Il s’agit de déterminer tous les groupes, à isomorphisme près, d’ordre n pour
1 n 9.
On sait que le seul groupe d’ordre 1 est le groupe trivial réduit à l’élément
neutre. La question TR.I.B.3 donne la réponse pour n = 2, 3, 5, 7.
Cas n = 4
1. Montrer qu’un groupe d’ordre 4 est isomorphe à Z/4Z ou à Z/2Z × Z/2Z et
que ces deux groupes ne sont pas isomorphes entre eux.
Cas n = 6
Soit G un groupe d’ordre 6.
2. Montrer que si G est abélien, il est isomorphe à Z/6Z (lui-même isomorphe à
Z/2Z × Z/3Z).
3. Montrer que si G est non abélien, il est isomorphe à S 3 .
Cas n = 8
Nous allons montrer qu’il existe, à isomorphisme près, exactement cinq groupes
d’ordre 8 qui sont :
Z/8Z, Z/2Z × Z/2Z × Z/2Z, Z/4Z × Z/2Z, D 4 , H.
4. Montrer que les cinq groupes ci-dessus ne sont pas isomorphes entre eux deux
à deux.
Soit G un groupe d’ordre 8 ; il est clair que s’il possède un élément d’ordre 8,
il est isomorphe à Z/8Z et on sait que, d’après (EI.8.2), si tous ces éléments sont
d’ordre 2, il est isomorphe à Z/2Z × Z/2Z × Z/2Z.
On suppose qu’aucune des conditions ci-dessus n’est réalisée. Il existe donc un
élément a d’ordre 4 dans G.
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