Thèmes de réflexion
5. Montrer qu’il existe dans G un élément b, n’appartenant pas au sous-groupe
a et que {a, b} engendre G.
On voit facilement que ba ∈ {ab, a 2 b, a 3 b}.
6. Montrer que si ba = ab, le groupe G est abélien et il est isomorphe au groupe
produit Z/4Z × Z/2Z.
7. Montrer que l’égalité ba = a 2 b est impossible.
On en déduit donc que si ab = ba, alors ba = a 3 b.
8. Montrer qu’alors b 2 = 1 ou b 2 = a 2 , et que :
– si b 2 = 1, le groupe G est isomorphe au groupe D 4 ;
– si b 2 = a 2 , le groupe G est isomorphe au groupe H.
Cas n = 9
Si le groupe G possède un élément d’ordre 9, il est isomorphe au groupe Z/9Z.
On suppose que le groupe G ne possède pas d’élément d’ordre 9.
9. Montrer que le groupe G possède deux éléments a et b d’ordre 3 tels que a 2 = b
et b 2 = a, qui engendrent G.
Il est facile de voir que ba ∈ {ab, ab 2 , a 2 b, a 2 b 2 }.
10. Montrer que seule l’égalité ba = ab est possible (calculer (ba) 2 ), et qu’alors le
groupe G est isomorphe au groupe Z/3Z × Z/3Z.
Il y a donc, à isomorphisme près, deux groupes d’ordre 9 qui sont :
Z/9Z, Z/3Z × Z/3Z
(vérifier qu’ils ne sont pas isomorphes entre eux).
On aura remarqué que si G est un groupe d’ordre n = 4 ou 9, i.e. n = p 2 où
p est un nombre premier, alors G est isomorphe à Z/p 2 Z ou à Z/pZ × Z/pZ. On
établira ce résultat de façon générale en dans l’exercice (IV.4).
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