Thèmes de réflexion
Générateurs d’un groupe cyclique
En général, si G = x est un groupe cyclique, il existe dans G d’autres générateurs que x. Par exemple, le groupe des racines cubiques de l’unité G = {1, j, j 2 }
est engendré par j et j 2 . Nous allons montrer que les générateurs d’un groupe
cyclique G forment un groupe, dont nous allons calculer l’ordre.
8. Montrer que si G = x est un groupe d’ordre n, x k est un générateur de G si
et seulement si pgcd(k, n) = 1 (i.e. si k et n sont premiers entre eux).
On en déduit que le nombre de générateurs d’un groupe cyclique d’ordre n est
égal à ϕ(n), où ϕ est la fonction d’Euler
ϕ(n) = card{k ∈ N, 1 k n − 1, pgcd(k, n) = 1}.
9. Montrer que les générateurs du groupe Z/nZ forment un groupe multiplicatif,
noté U(Z/nZ). (On utilisera l’identité de Bezout.)
On remarquera que ce groupe n’est pas un sous-groupe de Z/nZ, puisque sa
loi n’est pas induite par celle de Z/nZ.
10. Montrer que, pour tout n ∈ N ∗ , le groupe Aut(Z/nZ) est isomorphe au groupe
U(Z/nZ).
Produit direct de groupes cycliques. Application au calcul de ϕ(n)
11. Montrer que si p et q sont des entiers positifs, pZ ∩ qZ = pqZ si et seulement
si p et q sont premiers entre eux.
En déduire que les groupes Z/pZ × Z/qZ et Z/pqZ sont isomorphes si et
seulement si p et q sont premiers entres eux.
12. Généraliser cette dernière assertion en montrant que les groupes
Z/p 1 Z × . . . × Z/p k Z et Z/p 1 . . . p k Z
sont isomorphes si et seulement si les entiers p i , 1 i k, sont premiers entre
eux deux à deux.
On en déduit que pour tout nombre n ∈ N ∗ dont la décomposition en facteurs
premiers est n = p
s 1
1 . . . p
s k
k , le groupe Z/nZ est canoniquement isomorphe au
groupe Z/p
s 1
1 Z × . . . × Z/p
s k
k Z.
13. En déduire que si n = p
s 1
1 . . . p
s k
k , où les p i , 1 i k, sont des nombres
premiers, alors ϕ(n) =
i=k
i=1 ϕ(p
s i
i ). (On établira qu’un isomorphisme de groupes
f : G → G induit une bijection entre l’ensemble des parties génératrices de G et
l’ensemble des parties génératrices de G .)
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