Algèbre T1
2. Montrer que si G est un groupe monogène :
– ou bien G est infini et isomorphe à Z,
– ou bien G est d’ordre fini et isomorphe au groupe additif Z/nZ, avec n = |G|.
Un groupe monogène d’ordre fini est dit cyclique. Ce qui précède montre que
l’étude des groupes cycliques se ramène à celle des groupes additifs Z/nZ.
3. Montrer que si p est un nombre premier, tout groupe d’ordre p est cyclique,
donc isomorphe à Z/pZ.
Nous allons établir un résultat technique qui nous sera utile dans la suite.
4. Montrer que si G = x est un groupe cyclique d’ordre n, x k = 1 si et seulement
si k ∈ nZ.
Sous-groupes des groupes cycliques
Nous avons vu (proposition I.2.2) que les sous-groupes de Z sont les nZ, n ∈ N.
Ils sont donc isomorphes à Z. On remarquera ici une différence fondamentale entre
les groupes abéliens et les espaces vectoriels : le sous-groupe nZ est strictement
contenu dans Z (par exemple si n = 2, nZ est l’ensemble des nombres pairs)
et pourtant isomorphe à Z, alors qu’un sous-espace vectoriel strict d’un espace
vectoriel de dimension finie ne peut lui être isomorphe.
5. Montrer que les sous-groupes de Z/nZ correspondent biunivoquement aux sousgroupes kZ de Z, avec k > 0 divisant n. En déduire qu’un sous-groupe d’un groupe
cyclique est un groupe cyclique.
6. Montrer que si G = x est un groupe cyclique d’ordre n, si k est un entier
relatif et si h = pgcd(k, n), alors x k et x h engendrent le même sous-groupe.
Le théorème de Lagrange (II.1.1) montre que si G est un groupe fini, l’ordre
de tout sous-groupe H de G divise l’ordre de G. En général, si d est un diviseur
quelconque de l’ordre de G, il n’existe pas de sous-groupe H de G d’ordre d. Par
exemple, on verra au TR.II.B que le groupe A 4 , qui est d’ordre 12, n’a pas de
sous-groupe d’ordre 6. Cependant,
7. Si G = x est un groupe cyclique d’ordre n et si d est un diviseur de n, montrer
que H = x n/d est un sous-groupe d’ordre d de G et que c’est le seul.
On verra au chapitre VI que, plus généralement, si G est un groupe abélien
fini d’ordre n, pour tout diviseur d de n, il existe un élément de G d’ordre d.
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2. Montrer que si G est un groupe monogène :
– ou bien G est infini et isomorphe à Z,
– ou bien G est d’ordre fini et isomorphe au groupe additif Z/nZ, avec n = |G|.
Un groupe monogène d’ordre fini est dit cyclique. Ce qui précède montre que
l’étude des groupes cycliques se ramène à celle des groupes additifs Z/nZ.
3. Montrer que si p est un nombre premier, tout groupe d’ordre p est cyclique,
donc isomorphe à Z/pZ.
Nous allons établir un résultat technique qui nous sera utile dans la suite.
4. Montrer que si G = x est un groupe cyclique d’ordre n, x k = 1 si et seulement
si k ∈ nZ.
Sous-groupes des groupes cycliques
Nous avons vu (proposition I.2.2) que les sous-groupes de Z sont les nZ, n ∈ N.
Ils sont donc isomorphes à Z. On remarquera ici une différence fondamentale entre
les groupes abéliens et les espaces vectoriels : le sous-groupe nZ est strictement
contenu dans Z (par exemple si n = 2, nZ est l’ensemble des nombres pairs)
et pourtant isomorphe à Z, alors qu’un sous-espace vectoriel strict d’un espace
vectoriel de dimension finie ne peut lui être isomorphe.
5. Montrer que les sous-groupes de Z/nZ correspondent biunivoquement aux sousgroupes kZ de Z, avec k > 0 divisant n. En déduire qu’un sous-groupe d’un groupe
cyclique est un groupe cyclique.
6. Montrer que si G = x est un groupe cyclique d’ordre n, si k est un entier
relatif et si h = pgcd(k, n), alors x k et x h engendrent le même sous-groupe.
Le théorème de Lagrange (II.1.1) montre que si G est un groupe fini, l’ordre
de tout sous-groupe H de G divise l’ordre de G. En général, si d est un diviseur
quelconque de l’ordre de G, il n’existe pas de sous-groupe H de G d’ordre d. Par
exemple, on verra au TR.II.B que le groupe A 4 , qui est d’ordre 12, n’a pas de
sous-groupe d’ordre 6. Cependant,
7. Si G = x est un groupe cyclique d’ordre n et si d est un diviseur de n, montrer
que H = x n/d est un sous-groupe d’ordre d de G et que c’est le seul.
On verra au chapitre VI que, plus généralement, si G est un groupe abélien
fini d’ordre n, pour tout diviseur d de n, il existe un élément de G d’ordre d.
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