Thèmes de réflexion
– si i et j sont dans la même σ-orbite, les termes de cette σ-orbite forment
deux (σ ◦ τ )-orbites distinctes.
Donc le nombre de (σ ◦ τ )-orbites est égal au nombre des σ-orbites, plus ou
moins un.)
11. Montrer que si σ ∈ S n est un produit de k transpositions, alors
sgn(σ) = (−1) k , et que les nombres de transpositions dans deux décompositons
de σ en produit de transpositions ont même parité.
L’ensemble {−1, 1} muni de la multiplication usuelle est un groupe isomorphe
à Z/2Z. La signature définit donc une application sgn : S n → Z/2Z.
12. Montrer que cette application est un morphisme de groupes.
Le morphisme sgn : S n → Z/2Z défini ci-dessus s’appelle le morphisme
signature.
13. On dit que deux permutations σ et σ de S n sont conjuguées dans S n s’il
existe une permutation α tel que σ = ασα −1 . Démontrer la formule suivante :
pour un k-cycle (x 1 , . . . , x k ),
α(x 1 , . . . , x k )α
−1 = (α(x 1 ), . . . , α(x k )).
En déduire, en particulier, que toutes les transpositions sont conjuguées dans S n .
14. Démontrer qu’il existe un unique morphisme non trivial S n → Z/2Z. (On
démontrera que si un tel morphisme vaut +1 sur une transposition, alors il est
trivial sur les transpositions : c’est donc le morphisme trivial.)
Ce qui précède montre l’unicité du morphisme signature. Son noyau, noté A n ,
formé des permutations de signature +1, sera étudié au TR.II.B.
♥ TR.I.B. Groupes cycliques
Un groupe monogène est un groupe engendré par un élément,
G = x = {x
k , k ∈ Z}.
Ces groupes sont des groupes abéliens particulièrement importants. On verra
au chapitre VI que tout groupe abélien engendré par un nombre fini d’éléments
est isomorphe à un produit direct de groupes monogènes.
1. Montrer que sur tout ensemble fini, on peut définir une loi de composition
interne qui munisse cet ensemble d’une structure de groupe monogène. (Soit X
un ensemble à n éléments ; on note x 1 un élément et on pose x 2 = 2x 1 , . . .,
x k = kx 1 , . . . , x n = nx 1 , (n + 1)x 1 = x 1 . On munit X de la loi
x i + x j = x j + x i = kx 1 , avec k = (i + j) mod n.)
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– si i et j sont dans la même σ-orbite, les termes de cette σ-orbite forment
deux (σ ◦ τ )-orbites distinctes.
Donc le nombre de (σ ◦ τ )-orbites est égal au nombre des σ-orbites, plus ou
moins un.)
11. Montrer que si σ ∈ S n est un produit de k transpositions, alors
sgn(σ) = (−1) k , et que les nombres de transpositions dans deux décompositons
de σ en produit de transpositions ont même parité.
L’ensemble {−1, 1} muni de la multiplication usuelle est un groupe isomorphe
à Z/2Z. La signature définit donc une application sgn : S n → Z/2Z.
12. Montrer que cette application est un morphisme de groupes.
Le morphisme sgn : S n → Z/2Z défini ci-dessus s’appelle le morphisme
signature.
13. On dit que deux permutations σ et σ de S n sont conjuguées dans S n s’il
existe une permutation α tel que σ = ασα −1 . Démontrer la formule suivante :
pour un k-cycle (x 1 , . . . , x k ),
α(x 1 , . . . , x k )α
−1 = (α(x 1 ), . . . , α(x k )).
En déduire, en particulier, que toutes les transpositions sont conjuguées dans S n .
14. Démontrer qu’il existe un unique morphisme non trivial S n → Z/2Z. (On
démontrera que si un tel morphisme vaut +1 sur une transposition, alors il est
trivial sur les transpositions : c’est donc le morphisme trivial.)
Ce qui précède montre l’unicité du morphisme signature. Son noyau, noté A n ,
formé des permutations de signature +1, sera étudié au TR.II.B.
♥ TR.I.B. Groupes cycliques
Un groupe monogène est un groupe engendré par un élément,
G = x = {x
k , k ∈ Z}.
Ces groupes sont des groupes abéliens particulièrement importants. On verra
au chapitre VI que tout groupe abélien engendré par un nombre fini d’éléments
est isomorphe à un produit direct de groupes monogènes.
1. Montrer que sur tout ensemble fini, on peut définir une loi de composition
interne qui munisse cet ensemble d’une structure de groupe monogène. (Soit X
un ensemble à n éléments ; on note x 1 un élément et on pose x 2 = 2x 1 , . . .,
x k = kx 1 , . . . , x n = nx 1 , (n + 1)x 1 = x 1 . On munit X de la loi
x i + x j = x j + x i = kx 1 , avec k = (i + j) mod n.)
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