2. Cardinaux – Ensembles infinis
En particulier, un cardinal est infini s’il n’est pas entier.
Axiome de l’Infini. Il existe un ensemble infini.
On définit maintenant une relation d’ordre sur les cardinaux, de la façon suivante :
Définition 2.3. Si E et F sont deux ensembles, on écrit Card(E) Card(F )
si E est équipotent à une partie de F , ou encore s’il existe une application
injective de E dans F .
Ceci définit une relation d’ordre total sur les cardinaux. La réflexivité et la
transitivité sont évidentes. Par contre l’antisymétrie, loin d’être évidente, est donnée par le théorème suivant :
Théorème 2.1 (de Cantor-Bernstein). Soient E et F deux ensembles. Si
Card(E) Card(F ) et Card(F ) Card(E), alors Card(E) = Card(F ).
(Pour une démonstration cf. [1].)
Attention. On peut avoir E ⊂ F , E = F et Card(E) = Card(F ). Par exemple,
l’ensemble des nombres pairs est un sous-ensemble strict de N qui a même cardinal
que N, puisque ces deux ensembles se correspondent par l’application bijective
n → 2n.
Exercice .1. Montrer que si E et F sont deux ensembles non vides, il existe une
application injective de E dans F si et seulement s’il existe une application surjective de F dans E. (Noter que la réciproque utilise l’axiome du choix.)
Proposition 2.1. L’ensemble N des entiers naturels est infini.
Démonstration. Pour tout entier n, l’ensemble {0, 1, . . . , n} est une partie de N à
n + 1 éléments. Donc Card(N) (n + 1) > n est différent de n. Le cardinal de N
n’étant pas entier, N est un ensemble infini.
On note ℵ 0 ( qui se prononce aleph 0) le cardinal de N.
Définition 2.4. Un ensemble est dénombrable s’il est équipotent à N.
Si E est un ensemble dénombrable, une bijection f de N sur E permet d’écrire
les éléments de E sous forme de suite a n = f (n).
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En particulier, un cardinal est infini s’il n’est pas entier.
Axiome de l’Infini. Il existe un ensemble infini.
On définit maintenant une relation d’ordre sur les cardinaux, de la façon suivante :
Définition 2.3. Si E et F sont deux ensembles, on écrit Card(E) Card(F )
si E est équipotent à une partie de F , ou encore s’il existe une application
injective de E dans F .
Ceci définit une relation d’ordre total sur les cardinaux. La réflexivité et la
transitivité sont évidentes. Par contre l’antisymétrie, loin d’être évidente, est donnée par le théorème suivant :
Théorème 2.1 (de Cantor-Bernstein). Soient E et F deux ensembles. Si
Card(E) Card(F ) et Card(F ) Card(E), alors Card(E) = Card(F ).
(Pour une démonstration cf. [1].)
Attention. On peut avoir E ⊂ F , E = F et Card(E) = Card(F ). Par exemple,
l’ensemble des nombres pairs est un sous-ensemble strict de N qui a même cardinal
que N, puisque ces deux ensembles se correspondent par l’application bijective
n → 2n.
Exercice .1. Montrer que si E et F sont deux ensembles non vides, il existe une
application injective de E dans F si et seulement s’il existe une application surjective de F dans E. (Noter que la réciproque utilise l’axiome du choix.)
Proposition 2.1. L’ensemble N des entiers naturels est infini.
Démonstration. Pour tout entier n, l’ensemble {0, 1, . . . , n} est une partie de N à
n + 1 éléments. Donc Card(N) (n + 1) > n est différent de n. Le cardinal de N
n’étant pas entier, N est un ensemble infini.
On note ℵ 0 ( qui se prononce aleph 0) le cardinal de N.
Définition 2.4. Un ensemble est dénombrable s’il est équipotent à N.
Si E est un ensemble dénombrable, une bijection f de N sur E permet d’écrire
les éléments de E sous forme de suite a n = f (n).
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