Algèbre T1
Proposition 2.2. Tout ensemble infini E contient un sous-ensemble équipotent à N.
Démonstration. Il suffit de montrer que si E est un ensemble infini, il existe une
application injective de N dans E. Puisque E est un ensemble infini, pour tout
n ∈ N, il existe une partie de E de cardinal n (construction par récurrence). Soit
n un entier : on fixe des éléments de E, deux à deux distincts, a n,0 , . . . , a n,n . On
ordonne lexicographiquement N 2 et on pose : b 0 = a 0,0 et b 1 = a r,s , où (r, s) est
le plus petit élément de N 2 tel que a r,s = b 0 . Par récurrence, de la même façon,
on construit a p,q /
∈ {b 0 , b 1 , . . . , b n }. L’application définie par f (n) = b n est une
application injective de N dans E.
Ce qui précède montre que tout ensemble infini est au moins dénombrable, ou
que ℵ 0 est le plus petit cardinal infini.
Nous allons maintenant définir des opérations sur les cardinaux.
Définition 2.5. Soient a et b deux cardinaux et soient X et Y des ensembles
tels que a = Card(X) et b = Card(Y ).
a) On pose ab = Card(X × Y ) et on l’appelle produit des cardinaux a
et b.
b) On choisit X et Y comme ci-dessus, vérifiant de plus X ∩ Y = ∅. On
pose alors a + b = Card(X ∪ Y ), que l’on appelle somme des cardinaux a et b.
c) On pose a b = Card(X Y ), où X Y est l’ensemble des applications de Y
dans X. Cette opération s’appelle l’exponentiation des cardinaux.
Remarque 2.1.
a) Lorsque les ensembles X et Y sont disjoints, X ∩ Y = ∅, on note la réunion
de X et Y de la façon suivante, X
Y , qu’on appelle réunion disjointe de X
et Y .
b) Les définitions ci-dessus n’ont de sens que si elles ne dépendent pas du choix
des ensembles X et Y . Le lecteur vérifiera qu’il en est bien ainsi.
Exercice .2. Montrer que, si a, b, c sont des cardinaux, on a les identités suivantes :
a + b = b + a, a + (b + c) = (a + b) + c, 0 + a = a,
ab = ba, a(bc) = (ab)c, 0a = 0, 1a = a,
a(b + c) = ab + ac
a
b+c = a
b
a
c
, (ab)
c = a
c
b
c
, (a
b
)
c = a
bc , a
0 = 1, a
1 = a,
avec 0 = Card(∅) et 1 = Card({∅}).
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Proposition 2.2. Tout ensemble infini E contient un sous-ensemble équipotent à N.
Démonstration. Il suffit de montrer que si E est un ensemble infini, il existe une
application injective de N dans E. Puisque E est un ensemble infini, pour tout
n ∈ N, il existe une partie de E de cardinal n (construction par récurrence). Soit
n un entier : on fixe des éléments de E, deux à deux distincts, a n,0 , . . . , a n,n . On
ordonne lexicographiquement N 2 et on pose : b 0 = a 0,0 et b 1 = a r,s , où (r, s) est
le plus petit élément de N 2 tel que a r,s = b 0 . Par récurrence, de la même façon,
on construit a p,q /
∈ {b 0 , b 1 , . . . , b n }. L’application définie par f (n) = b n est une
application injective de N dans E.
Ce qui précède montre que tout ensemble infini est au moins dénombrable, ou
que ℵ 0 est le plus petit cardinal infini.
Nous allons maintenant définir des opérations sur les cardinaux.
Définition 2.5. Soient a et b deux cardinaux et soient X et Y des ensembles
tels que a = Card(X) et b = Card(Y ).
a) On pose ab = Card(X × Y ) et on l’appelle produit des cardinaux a
et b.
b) On choisit X et Y comme ci-dessus, vérifiant de plus X ∩ Y = ∅. On
pose alors a + b = Card(X ∪ Y ), que l’on appelle somme des cardinaux a et b.
c) On pose a b = Card(X Y ), où X Y est l’ensemble des applications de Y
dans X. Cette opération s’appelle l’exponentiation des cardinaux.
Remarque 2.1.
a) Lorsque les ensembles X et Y sont disjoints, X ∩ Y = ∅, on note la réunion
de X et Y de la façon suivante, X
Y , qu’on appelle réunion disjointe de X
et Y .
b) Les définitions ci-dessus n’ont de sens que si elles ne dépendent pas du choix
des ensembles X et Y . Le lecteur vérifiera qu’il en est bien ainsi.
Exercice .2. Montrer que, si a, b, c sont des cardinaux, on a les identités suivantes :
a + b = b + a, a + (b + c) = (a + b) + c, 0 + a = a,
ab = ba, a(bc) = (ab)c, 0a = 0, 1a = a,
a(b + c) = ab + ac
a
b+c = a
b
a
c
, (ab)
c = a
c
b
c
, (a
b
)
c = a
bc , a
0 = 1, a
1 = a,
avec 0 = Card(∅) et 1 = Card({∅}).
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