Algèbre T1
b) Le lemme de Zorn est également équivalent au théorème de Zermelo énoncé
ci-dessous.
Définition 1.7. Un ensemble E est bien ordonné s’il est ordonné et si, pour
l’ordre considéré, toute partie non vide de E admet un plus petit élément.
Théorème 1.2 (de Zermelo). Tout ensemble peut être bien ordonné.
Remarque 1.2. Si une relation d’ordre définie sur un ensemble E le munit d’une
structure d’ensemble bien ordonné, cette relation d’ordre est totale (car toute
partie à deux éléments {x, y} a un plus petit élément). On en déduit donc que
tout ensemble peut être muni d’une relation d’ordre totale. Mais attention, toute
relation d’ordre définie sur un ensemble n’est pas nécessairement totale (comme
on l’a vu avec l’inclusion sur l’ensemble des parties d’un ensemble), de même
que toute relation d’ordre n’est pas nécessairement une relation de bon ordre.
L’existence d’une relation d’ordre totale qui ne soit pas une relation de bon ordre
est équivalente à l’axiome de l’infini énoncé ci-dessous.
2. Cardinaux – Ensembles infinis
Définition 2.1. Deux ensembles X et Y ont même cardinal, ou sont équipotents, s’il existe une application bijective de X sur Y .
On écrit alors Card(X) = Card(Y ).
Attention. On vient de définir l’égalité de deux cardinaux, mais on n’a pas
défini la notion de cardinal. Il s’agit « intuitivement » du nombre d’éléments de
l’ensemble. Il est clair que l’égalité des cardinaux définit une relation d’équivalence
sur la « classe » des ensembles. On peut alors considérer le cardinal d’un ensemble
comme un représentant de sa classe d’équivalence.
On remarquera que dans la phrase ci-dessus, on parle de la « classe » des ensembles, car parler de « l’ensemble » des ensembles conduirait à une contradiction
(cet ensemble devant alors se contenir lui-même comme élément).
On remarquera que si les ensembles {1, . . . , n} et {1, . . . , p} sont équipotents,
alors n = p. Ceci rend consistante la définition suivante :
Définition 2.2. Un ensemble E est dit fini s’il existe un entier n tel que E soit
équipotent à l’ensemble {1, . . . , n}. On écrit alors Card(E) = n. On dit qu’un
ensemble est infini s’il n’est pas fini.
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b) Le lemme de Zorn est également équivalent au théorème de Zermelo énoncé
ci-dessous.
Définition 1.7. Un ensemble E est bien ordonné s’il est ordonné et si, pour
l’ordre considéré, toute partie non vide de E admet un plus petit élément.
Théorème 1.2 (de Zermelo). Tout ensemble peut être bien ordonné.
Remarque 1.2. Si une relation d’ordre définie sur un ensemble E le munit d’une
structure d’ensemble bien ordonné, cette relation d’ordre est totale (car toute
partie à deux éléments {x, y} a un plus petit élément). On en déduit donc que
tout ensemble peut être muni d’une relation d’ordre totale. Mais attention, toute
relation d’ordre définie sur un ensemble n’est pas nécessairement totale (comme
on l’a vu avec l’inclusion sur l’ensemble des parties d’un ensemble), de même
que toute relation d’ordre n’est pas nécessairement une relation de bon ordre.
L’existence d’une relation d’ordre totale qui ne soit pas une relation de bon ordre
est équivalente à l’axiome de l’infini énoncé ci-dessous.
2. Cardinaux – Ensembles infinis
Définition 2.1. Deux ensembles X et Y ont même cardinal, ou sont équipotents, s’il existe une application bijective de X sur Y .
On écrit alors Card(X) = Card(Y ).
Attention. On vient de définir l’égalité de deux cardinaux, mais on n’a pas
défini la notion de cardinal. Il s’agit « intuitivement » du nombre d’éléments de
l’ensemble. Il est clair que l’égalité des cardinaux définit une relation d’équivalence
sur la « classe » des ensembles. On peut alors considérer le cardinal d’un ensemble
comme un représentant de sa classe d’équivalence.
On remarquera que dans la phrase ci-dessus, on parle de la « classe » des ensembles, car parler de « l’ensemble » des ensembles conduirait à une contradiction
(cet ensemble devant alors se contenir lui-même comme élément).
On remarquera que si les ensembles {1, . . . , n} et {1, . . . , p} sont équipotents,
alors n = p. Ceci rend consistante la définition suivante :
Définition 2.2. Un ensemble E est dit fini s’il existe un entier n tel que E soit
équipotent à l’ensemble {1, . . . , n}. On écrit alors Card(E) = n. On dit qu’un
ensemble est infini s’il n’est pas fini.
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