1. Ensembles ordonnés
Définition 1.4. Soient E un ensemble ordonné et X une partie de E. On appelle
minorant (resp. majorant) de X dans E tout élément m (resp. M ) de E tel
que, pour tout x ∈ X, on ait m x (resp. x M ).
Définition 1.5. Une partie X d’un ensemble ordonné E est totalement ordonnée si, pour tous éléments x et y de X, on a x y ou y x. Si c’est le
cas pour X = E, on dit que la relation d’ordre sur E est totale, ou que E est
totalement ordonné.
Exemples 1.4.
a) La relation d’ordre usuelle sur les ensembles N, Z, Q, R est totale.
b) La partie vide et toute partie réduite à un élément sont totalement ordonnées.
c) Si l’ensemble E admet au moins deux éléments, la relation d’ordre sur
l’ensemble P(E), induite par inclusion, n’est pas totale.
Définition 1.6. Un ensemble ordonné E est inductif si toute partie non vide
totalement ordonnée de E possède un majorant.
Ces ensembles possèdent l’importante propriété suivante, qui est utilisée très
souvent dans cet ouvrage :
Théorème 1.1 (lemme de Zorn). Tout ensemble ordonné inductif possède un élément maximal.
Remarques 1.1.
a) Ce théorème est équivalent à l’axiome du choix, dont des énoncés équivalents sont (entre autres) :
Tout produit cartésien non vide d’ensembles non vides est un ensemble non vide,
ou
Pour tout ensemble E, il existe une application
f : P(E) \ {∅} −→ E
telle que
∀A ∈ P(E) \ {∅}, f(A) ∈ A.
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Définition 1.4. Soient E un ensemble ordonné et X une partie de E. On appelle
minorant (resp. majorant) de X dans E tout élément m (resp. M ) de E tel
que, pour tout x ∈ X, on ait m x (resp. x M ).
Définition 1.5. Une partie X d’un ensemble ordonné E est totalement ordonnée si, pour tous éléments x et y de X, on a x y ou y x. Si c’est le
cas pour X = E, on dit que la relation d’ordre sur E est totale, ou que E est
totalement ordonné.
Exemples 1.4.
a) La relation d’ordre usuelle sur les ensembles N, Z, Q, R est totale.
b) La partie vide et toute partie réduite à un élément sont totalement ordonnées.
c) Si l’ensemble E admet au moins deux éléments, la relation d’ordre sur
l’ensemble P(E), induite par inclusion, n’est pas totale.
Définition 1.6. Un ensemble ordonné E est inductif si toute partie non vide
totalement ordonnée de E possède un majorant.
Ces ensembles possèdent l’importante propriété suivante, qui est utilisée très
souvent dans cet ouvrage :
Théorème 1.1 (lemme de Zorn). Tout ensemble ordonné inductif possède un élément maximal.
Remarques 1.1.
a) Ce théorème est équivalent à l’axiome du choix, dont des énoncés équivalents sont (entre autres) :
Tout produit cartésien non vide d’ensembles non vides est un ensemble non vide,
ou
Pour tout ensemble E, il existe une application
f : P(E) \ {∅} −→ E
telle que
∀A ∈ P(E) \ {∅}, f(A) ∈ A.
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