Algèbre T1
d) Soient E un ensemble et (F, R) un ensemble ordonné. On définit sur
G = F(E, F ), ensemble des applications de E dans F , une relation d’ordre, notée
R , par
∀f ∈ G, ∀g ∈ G, f R
g si et seulement si ∀x ∈ E, f (x)Rg(x).
e) Soit E un ensemble muni d’une relation d’ordre, que l’on notera . Pour
tous éléments x = (x 1 , . . . , x n ) et y = (y 1 , . . . , y n ) de E n , on pose x y si
et seulement si x = y ou s’il existe k ∈ {0, 1, . . . , n − 1} tel que x 1 = y 1 , . . .,
x k = y k , x k+1 y k+1 . Ceci définit une relation d’ordre sur E n , appelé ordre
lexicographique.
Pour plus de commodité, sauf mention explicite, nous noterons une relation
d’ordre définie sur un ensemble E par et nous écrirons « soit E un ensemble
ordonné ».
Définition 1.2. Soit E un ensemble ordonné. Un élément a de E est un élément
minimal (resp. maximal) de E si la relation x a (resp. a x), x ∈ E,
entraîne x = a.
Exemples 1.2.
a) Soient E un ensemble et F le sous-ensemble de P(E) formé des parties non
vides de E. Les éléments minimaux de F sont les parties à un élément.
b) Dans l’ensemble des entiers naturels strictement plus grands que 1, ordonné
par la relation « m divise n », les éléments minimaux sont les nombres premiers.
c) L’ensemble R muni de l’ordre usuel n’a pas d’élément minimal ou maximal.
Définition 1.3. Soit E un ensemble ordonné. Un élément a de E est le plus
petit (resp. plus grand) élément de E si, pour tout x ∈ E, on a a x (resp.
x a).
Exemples 1.3.
a) Dans l’exemple (1.1.a), 0 est le plus petit élément de N et il n’y a pas de
plus grand élément.
b) Dans l’exemple (1.1.b), ∅ et E sont, respectivement, le plus petit élément
et le plus grand élément de P(E).
c) Dans l’exemple (1.2.c), il n’y a ni plus petit, ni plus grand élément.
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d) Soient E un ensemble et (F, R) un ensemble ordonné. On définit sur
G = F(E, F ), ensemble des applications de E dans F , une relation d’ordre, notée
R , par
∀f ∈ G, ∀g ∈ G, f R
g si et seulement si ∀x ∈ E, f (x)Rg(x).
e) Soit E un ensemble muni d’une relation d’ordre, que l’on notera . Pour
tous éléments x = (x 1 , . . . , x n ) et y = (y 1 , . . . , y n ) de E n , on pose x y si
et seulement si x = y ou s’il existe k ∈ {0, 1, . . . , n − 1} tel que x 1 = y 1 , . . .,
x k = y k , x k+1 y k+1 . Ceci définit une relation d’ordre sur E n , appelé ordre
lexicographique.
Pour plus de commodité, sauf mention explicite, nous noterons une relation
d’ordre définie sur un ensemble E par et nous écrirons « soit E un ensemble
ordonné ».
Définition 1.2. Soit E un ensemble ordonné. Un élément a de E est un élément
minimal (resp. maximal) de E si la relation x a (resp. a x), x ∈ E,
entraîne x = a.
Exemples 1.2.
a) Soient E un ensemble et F le sous-ensemble de P(E) formé des parties non
vides de E. Les éléments minimaux de F sont les parties à un élément.
b) Dans l’ensemble des entiers naturels strictement plus grands que 1, ordonné
par la relation « m divise n », les éléments minimaux sont les nombres premiers.
c) L’ensemble R muni de l’ordre usuel n’a pas d’élément minimal ou maximal.
Définition 1.3. Soit E un ensemble ordonné. Un élément a de E est le plus
petit (resp. plus grand) élément de E si, pour tout x ∈ E, on a a x (resp.
x a).
Exemples 1.3.
a) Dans l’exemple (1.1.a), 0 est le plus petit élément de N et il n’y a pas de
plus grand élément.
b) Dans l’exemple (1.1.b), ∅ et E sont, respectivement, le plus petit élément
et le plus grand élément de P(E).
c) Dans l’exemple (1.2.c), il n’y a ni plus petit, ni plus grand élément.
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