APPENDICE
L’objet de cet appendice est un exposé des résultats généraux de la théorie
des ensembles utilisés dans certaines démonstrations de cet ouvrage. Un exposé
complet de ces questions nécessiterait à lui seul un livre. On ne trouvera donc ici
que les rappels nécessaires à une bonne compréhension des démonstrations contenues dans ce livre. Pour plus de détails, le lecteur pourra consulter [4]. Certains
points sont développés en appendice de [1].
1. Ensembles ordonnés
Définition 1.1. Une relation d’ordre sur un ensemble E est une relation binaire R satisfaisant aux conditions suivantes :
(i) ∀x ∈ E, xRx (réflexivité).
(ii) ∀x ∈ E, ∀y ∈ E, [xRy] et [yRx] =⇒ [x = y] (antisymétrie).
(iii) ∀x ∈ E, ∀y ∈ E, ∀z ∈ E, [xRy] et [yRz] =⇒ [xRz] (transitivité).
Un ensemble ordonné est la donnée d’un couple (E, R), où E est un
ensemble et R une relation d’ordre définie sur E.
Exemples 1.1.
a) La relation sur l’ensemble N est une relation d’ordre.
b) Pour tout ensemble E, la relation d’inclusion est une relation d’ordre sur
l’ensemble P(E), ensemble des parties de E.
c) La relation R définie sur N ∗ par « xRy si x est un diviseur de y » est une
relation d’ordre.
L’objet de cet appendice est un exposé des résultats généraux de la théorie
des ensembles utilisés dans certaines démonstrations de cet ouvrage. Un exposé
complet de ces questions nécessiterait à lui seul un livre. On ne trouvera donc ici
que les rappels nécessaires à une bonne compréhension des démonstrations contenues dans ce livre. Pour plus de détails, le lecteur pourra consulter [4]. Certains
points sont développés en appendice de [1].
1. Ensembles ordonnés
Définition 1.1. Une relation d’ordre sur un ensemble E est une relation binaire R satisfaisant aux conditions suivantes :
(i) ∀x ∈ E, xRx (réflexivité).
(ii) ∀x ∈ E, ∀y ∈ E, [xRy] et [yRx] =⇒ [x = y] (antisymétrie).
(iii) ∀x ∈ E, ∀y ∈ E, ∀z ∈ E, [xRy] et [yRz] =⇒ [xRz] (transitivité).
Un ensemble ordonné est la donnée d’un couple (E, R), où E est un
ensemble et R une relation d’ordre définie sur E.
Exemples 1.1.
a) La relation sur l’ensemble N est une relation d’ordre.
b) Pour tout ensemble E, la relation d’inclusion est une relation d’ordre sur
l’ensemble P(E), ensemble des parties de E.
c) La relation R définie sur N ∗ par « xRy si x est un diviseur de y » est une
relation d’ordre.