Chapitre XVII. Polygones réguliers constructibles et nombres de Fermat
pour tout i = 1, . . . , s. On en déduit, d’après le lemme (XVII.2.2) et la remarque (XVII.2.1.a), que p i − 1 = 2 s i , i.e. p i = 1 + 2 s i . Supposons que s i soit
divisible par un entier a impair, s i = ab ; alors p i = (2 b ) a +1. Puisque a est impair,
on a X a + 1 = (X + 1)(X a−1 − X a−2 + . . . + 1), donc p i est divisible par 2 b + 1,
ce qui est impossible puisqu’il est premier. D’où s i = 2 r i et p i = 1 + 2 2 r i .
La condition est suffisante. D’après le corollaire (XVII.2.1), il suffit de considérer les facteurs premiers de n. Il est clair que 2 r est un entier constructible. Montrons que les entiers p i , i = 1, . . . , s, sont constructibles. Fixons un
i, 1 i s, et posons a = 2 r i , ζ = e 2iπ/p i . On a [Q(ζ) : Q] = p i − 1 = 2 a .
Posons K = R ∩ Q(ζ) ; alors α = cos(2π/p i ) = (ζ + ζ −1 )/2 appartient
à K, donc 2α aussi. Mais 2α = (ζ 2 + 1)/ζ, d’où ζ 2 − 2αζ + 1 = 0 et
[Q(ζ) : K] = 2. On a Q ⊂ K ⊂ Q(ζ) et le groupe Gal(Q(ζ)/Q) est abélien (théorème XV.2.1) : donc Gal(K/Q) Gal(Q(ζ)/Q)/Gal(Q(ζ)/K) (exemple VI.3.1).
Mais |Gal(Q(ζ)/Q)| = 2 a et |Gal(Q(ζ)/K)| = 2, donc |Gal(K/Q)| = 2 a−1 :
comme l’extension K/Q est normale (car Gal(Q(ζ)/K) Gal(Q(ζ)/Q)), d’après
le théorème (XVII.1.2) le point (cos(2π/p i ), 0) est constructible, donc l’entier p i
est constructible.
Les nombres du type 1+2 2 n sont appelés nombres de Fermat. On ne connaît
que peu de ces nombres qui soient premiers. Par exemple, 3, 5, 17, 257, 65 537
sont les seuls nombres premiers de Fermat inférieurs à 10 40 000 .
Construction de l’heptadécagône
La construction à la règle et au compas du polygône régulier à 17 côtés, réalisée
par Gauss à l’âge de 18 ans, revient à celle du point ζ 17 = e
2iπ
17 sur le cercle
unité, ou encore d’un autre sommet qui correspond à un générateur du groupe
U 17 Z/17Z des racines 17 èmes de l’unité.
L’équation
μ ζ 17 (x) =
16
k=1
x
k = 0
admet pour groupe de Galois
G = Gal(Q(ζ 17 )/Q) = (Z/17Z)
× ,
qui est encore isomorphe au groupe cyclique C 16 = Z/16Z. En effet, toutes les
racines de μ ζ 17 s’expriment comme des puissances ζ k
17 , 1 k 16, de ζ 17 .
Les nombres constructibles à la règle et au compas forment un corps. La
construction d’un nouveau point engendre une extension de corps, qui est triviale
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pour tout i = 1, . . . , s. On en déduit, d’après le lemme (XVII.2.2) et la remarque (XVII.2.1.a), que p i − 1 = 2 s i , i.e. p i = 1 + 2 s i . Supposons que s i soit
divisible par un entier a impair, s i = ab ; alors p i = (2 b ) a +1. Puisque a est impair,
on a X a + 1 = (X + 1)(X a−1 − X a−2 + . . . + 1), donc p i est divisible par 2 b + 1,
ce qui est impossible puisqu’il est premier. D’où s i = 2 r i et p i = 1 + 2 2 r i .
La condition est suffisante. D’après le corollaire (XVII.2.1), il suffit de considérer les facteurs premiers de n. Il est clair que 2 r est un entier constructible. Montrons que les entiers p i , i = 1, . . . , s, sont constructibles. Fixons un
i, 1 i s, et posons a = 2 r i , ζ = e 2iπ/p i . On a [Q(ζ) : Q] = p i − 1 = 2 a .
Posons K = R ∩ Q(ζ) ; alors α = cos(2π/p i ) = (ζ + ζ −1 )/2 appartient
à K, donc 2α aussi. Mais 2α = (ζ 2 + 1)/ζ, d’où ζ 2 − 2αζ + 1 = 0 et
[Q(ζ) : K] = 2. On a Q ⊂ K ⊂ Q(ζ) et le groupe Gal(Q(ζ)/Q) est abélien (théorème XV.2.1) : donc Gal(K/Q) Gal(Q(ζ)/Q)/Gal(Q(ζ)/K) (exemple VI.3.1).
Mais |Gal(Q(ζ)/Q)| = 2 a et |Gal(Q(ζ)/K)| = 2, donc |Gal(K/Q)| = 2 a−1 :
comme l’extension K/Q est normale (car Gal(Q(ζ)/K) Gal(Q(ζ)/Q)), d’après
le théorème (XVII.1.2) le point (cos(2π/p i ), 0) est constructible, donc l’entier p i
est constructible.
Les nombres du type 1+2 2 n sont appelés nombres de Fermat. On ne connaît
que peu de ces nombres qui soient premiers. Par exemple, 3, 5, 17, 257, 65 537
sont les seuls nombres premiers de Fermat inférieurs à 10 40 000 .
Construction de l’heptadécagône
La construction à la règle et au compas du polygône régulier à 17 côtés, réalisée
par Gauss à l’âge de 18 ans, revient à celle du point ζ 17 = e
2iπ
17 sur le cercle
unité, ou encore d’un autre sommet qui correspond à un générateur du groupe
U 17 Z/17Z des racines 17 èmes de l’unité.
L’équation
μ ζ 17 (x) =
16
k=1
x
k = 0
admet pour groupe de Galois
G = Gal(Q(ζ 17 )/Q) = (Z/17Z)
× ,
qui est encore isomorphe au groupe cyclique C 16 = Z/16Z. En effet, toutes les
racines de μ ζ 17 s’expriment comme des puissances ζ k
17 , 1 k 16, de ζ 17 .
Les nombres constructibles à la règle et au compas forment un corps. La
construction d’un nouveau point engendre une extension de corps, qui est triviale
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