XVII.2. Constructibilité des polygones réguliers
Corollaire XVII.2.1. Soit n = p
α 1
1 . . . p αr
r la décomposition en facteurs premiers
d’un entier n. L’entier n est constructible si et seulement si chaque entier p
α i
i ,
i = 1, . . . , r, est constructible.
Deuxième étape : Constructibilité des entiers p n , p premier
Si p = 2, le problème se ramène à construire les bissectrices d’un angle. On
suppose donc que le nombre premier p est impair.
Lemme XVII.2.2. Soit ζ une racine primitive p n -ième de l’unité. Si p n est
constructible, le polynôme minimal de ζ sur Q est de degré une puissance de 2.
Démonstration. Posons ζ = e 2iπ/p n , α = cos(2π/p n ) et β = sin(2π/p n ). Puisque
p n est constructible, le point (α, β) est constructible (c’est un sommet du p n -gône).
On en déduit que [Q(α, β) : Q] = 2 n puis [Q(α, β, i) : Q] = 2 n+1 . Mais
ζ ∈ Q(α, β, i), donc [Q(ζ) : Q] = 2 q et le polynôme minimal de ζ sur Q est
de degré une puissance de 2.
Pour déterminer les p n , p premier, qui sont constructibles, on doit donc déterminer les degrés des polynômes minimaux des racines primitives p n -ième de
l’unité.
Remarques XVII.2.1. Soit ζ une racine primitive p n -ième de l’unité.
a) Si n = 1, le polynôme minimal de ζ est M ζ (X) = 1 + X + . . . + X p−1 .
b) Si n = 2, le polynôme minimal de ζ est M ζ (X) = 1 + X p + . . . + X p(p−1) :
en effet, ce polynôme est irréductible d’après le critère d’Eisenstein et M ζ (ζ) = 0
car M ζ (X) = (X p 2 − 1)/(X p − 1).
Théorème XVII.2.1. L’entier n est constructible si et seulement si n = 2 r p 1 . . . p s ,
où les entiers p i sont des nombres premiers distincts de la forme p i = 1 + 2 2 r i ,
i = 1, . . . , s.
Démonstration. La condition est nécessaire. Supposons que l’entier n soit
constructible et soit n = 2 r p
α 1
1 . . . p αs
s sa décomposition en facteurs premiers.
D’après le corollaire (XVII.2.1), les entiers p
α i
i , i = 1, . . . , s, sont constructibles.
Si α i 2, alors, d’après le lemme (XVII.2.1.(i)), l’entier p 2
i est constructible ;
on en déduit, d’après le lemme (XVII.2.2), que le degré du polynôme minimal
d’une racine primitive p 2
i -ième de l’unité est une puissance de 2. Mais, d’après
la remarque (XVII.2.1.b), il existerait β tel que 2 β = p i (p i − 1), ce qui est
impossible puisque p i est impair. On a donc α i = 1, i.e. p i est constructible
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Corollaire XVII.2.1. Soit n = p
α 1
1 . . . p αr
r la décomposition en facteurs premiers
d’un entier n. L’entier n est constructible si et seulement si chaque entier p
α i
i ,
i = 1, . . . , r, est constructible.
Deuxième étape : Constructibilité des entiers p n , p premier
Si p = 2, le problème se ramène à construire les bissectrices d’un angle. On
suppose donc que le nombre premier p est impair.
Lemme XVII.2.2. Soit ζ une racine primitive p n -ième de l’unité. Si p n est
constructible, le polynôme minimal de ζ sur Q est de degré une puissance de 2.
Démonstration. Posons ζ = e 2iπ/p n , α = cos(2π/p n ) et β = sin(2π/p n ). Puisque
p n est constructible, le point (α, β) est constructible (c’est un sommet du p n -gône).
On en déduit que [Q(α, β) : Q] = 2 n puis [Q(α, β, i) : Q] = 2 n+1 . Mais
ζ ∈ Q(α, β, i), donc [Q(ζ) : Q] = 2 q et le polynôme minimal de ζ sur Q est
de degré une puissance de 2.
Pour déterminer les p n , p premier, qui sont constructibles, on doit donc déterminer les degrés des polynômes minimaux des racines primitives p n -ième de
l’unité.
Remarques XVII.2.1. Soit ζ une racine primitive p n -ième de l’unité.
a) Si n = 1, le polynôme minimal de ζ est M ζ (X) = 1 + X + . . . + X p−1 .
b) Si n = 2, le polynôme minimal de ζ est M ζ (X) = 1 + X p + . . . + X p(p−1) :
en effet, ce polynôme est irréductible d’après le critère d’Eisenstein et M ζ (ζ) = 0
car M ζ (X) = (X p 2 − 1)/(X p − 1).
Théorème XVII.2.1. L’entier n est constructible si et seulement si n = 2 r p 1 . . . p s ,
où les entiers p i sont des nombres premiers distincts de la forme p i = 1 + 2 2 r i ,
i = 1, . . . , s.
Démonstration. La condition est nécessaire. Supposons que l’entier n soit
constructible et soit n = 2 r p
α 1
1 . . . p αs
s sa décomposition en facteurs premiers.
D’après le corollaire (XVII.2.1), les entiers p
α i
i , i = 1, . . . , s, sont constructibles.
Si α i 2, alors, d’après le lemme (XVII.2.1.(i)), l’entier p 2
i est constructible ;
on en déduit, d’après le lemme (XVII.2.2), que le degré du polynôme minimal
d’une racine primitive p 2
i -ième de l’unité est une puissance de 2. Mais, d’après
la remarque (XVII.2.1.b), il existerait β tel que 2 β = p i (p i − 1), ce qui est
impossible puisque p i est impair. On a donc α i = 1, i.e. p i est constructible
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